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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 12.Problemas - Ex. 16

O bloco A tem uma massa de 40 kg e o bloco B tem uma massa de 8 kg. Os coeficientes de atrito entre todas as superfícies de contato são μ s = 0,20 e μ k = 0,15. Se P = 40 N ->, determine (a) a aceleração do bloco B, (b) a tensão na corda.

Passo 1

Do diagrama:

E n t ã o       2 x A + x B / A =   c o n s t a n t   e                     2 v A + v B / A = 0 2 a A + a D / A = 0   a g o r a                                   a B = a A + a B / A E n t ã o                                     a B = a A + - 2 a A o u                                           a B = - a A

Passo 2

Primeiro, determinamos se o bloco se moverá para o valor dado de P. Assim, buscamos o valor para o qual o bloco está em movimento iminente, com o movimento iminente de α descendo a rampa

  B : + Σ F y = 0 : N A B - W B c o s ⁡ 25 ∘ = 0 o u                                 N A B = m B g c o s ⁡ 25 ∘  agora  F A B = μ s N A B = 0.2 m B g c o s ⁡ 25 ∘

Ou + Σ F x = 0 : - T + F A B + W B s i n ⁡ 25 ∘ = 0 T = 0.2 m B g c o s ⁡ 25 ∘ + m B g s i n ⁡ 25 ∘ = ( 8 k g ) 9.81 m / s 2 0.2 c o s ⁡ 25 ∘ + s i n ⁡ 25 ∘ = 47.39249 N

A : + + Σ F y = 0 : N A - N A B - W A c o s ⁡ 25 ∘ + P s i n ⁡ 25 ∘ = 0 N d = m A + m B g c o s ⁡ 25 ∘ - P s i n ⁡ 25 ∘

Passo 3

A g o r a                                                     F A 4 = μ s N A

  F A = 0.2 m A + m B g c o s ⁡ 25 ∘ - P s i n ⁡ 25 ∘

Σ F x = 0 : - T - F A - F A B + W A s i n ⁡ 25 ∘ + P c o s ⁡ 25 ∘ = 0 o u       - T - 0.2 m A + m B g c o s ⁡ 25 ∘ - P s i n ⁡ 25 ∘ - 0.2 m B g c o s ⁡ 25 ∘ + m A g s i n ⁡ 25 ∘ + P c o s ⁡ 25 ∘ = 0 o u                           P 0.2 s i n ⁡ 25 ∘ + c o s ⁡ 25 ∘ = T + 0.2 m A + 2 m B g c o s ⁡ 25 ∘ - m A g s i n ⁡ 25 ∘ e n t ã o     P 0.2 s i n ⁡ 25 ∘ + c o s ⁡ 25 ∘ = 47.39249 N + 9.81 m / s 2 0.2 ( 40 + 2 × 8 ) c o s ⁡ 25 ∘ - 40 s i n ⁡ 25 ∘ k g                          

P = - 19.04 N  para movimento iminente

Passo 4

Desde P > 40   N o bloco irá se mover. Agora considere a movimentação dos blocos:

  1. + Σ F y = 0 : N A B - W B c o s ⁡ 25 ∘ = 0   o u       N A B = m B g c o s ⁡ 25 ∘   d e s l i z a m e n t o :   F A B = μ k N A B = 0.15 m B g c o s ⁡ 25 ∘

    2. Ou 4 + Σ F x = m B a B : - T + F A B + W B s i n ⁡ 25 ∘ = m k a B T = m B g 0.15 c o s ⁡ 25 ∘ + s i n ⁡ 25 ∘ - a 3 = 8 9.81 0.15 c o s ⁡ 25 ∘ + s i n ⁡ 25 ∘ - a k = 8 5.47952 - a B ( N )

    Ou + ↑ Σ F y = 0 : N A - N A B - W A c o s ⁡ 25 ∘ + P s i n ⁡ 25 ∘ = 0 N A = m A + m B g c o s ⁡ 25 ∘ - P s i n ⁡ 25 ∘

    Deslizamento: F A = μ k N A = 0.15 m A + m B g c o s ⁡ 25 ∘ - P s i n ⁡ 25 ∘ ↘ + Σ F x = m A a A : - T - F A - F A B + W A s i n ⁡ 25 ∘ + P c o s ⁡ 25 ∘ = m A a A

    Substituindo e usando a equação 1

    T = m A g s i n ⁡ 25 ∘ - 0.15 m A + m B g c o s ⁡ 25 ∘ - P s i n ⁡ 25 ∘ - 0.15 m B g c o s ⁡ 25 ∘ + P c o s ⁡ 25 ∘ - m A - a B = g m A s i n ⁡ 25 ∘ - 0.15 m A + 2 m B c o s ⁡ 25 ∘ + P 0.15 s i n ⁡ 25 ∘ + c o s ⁡ 25 ∘ + m A a B = 9.81 40 s i n ⁡ 25 ∘ - 0.15 ( 40 + 2 × 8 ) c o s ⁡ 25 ∘ + 40 0.15 s i n ⁡ 25 ∘ + c o s ⁡ 25 ∘ + 40 a B = 129.94004 a B ( N )

    Passo 4

    Equacionando as duas expressões para T

    8 5.47952 - a B = 129.94004 + 40 a B o u                     a B = - 1.79383 m / s 2

    a B = 1.794 m / s 2 > 25 ∘

  2. Nós temos T = 8 [ 5.47952 - ( - 1.79383 ) ] o u     T = 58.2 N

Resposta

a a B = 1.794 m / s 2 > 25 ∘

( b )   T = 58.2 N

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