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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Dinâmica Volume 2 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 2.2 - Ex. 52

Para a bola de beisebol do Prob. 2/51 atirada para cima com uma velocidade inicial de 30   m / s , determine o tempo t s do solo até o ápice e o tempo t d do ápice até o solo.

Prob. 2/51: Quando o efeito de arrasto aerodinâmico é incluído, a aceleração y de uma bola de beisebol movendo-se verticalmente para cima é a u = - g - k v 2 , enquanto a aceleração quando a bola está movimento descendente é a d = - g + k v 2 , onde k é uma constante positiva e v é a velocidade em metros por segundo. Se a bola é lançada para cima a 30   m / s aproximadamente a partir do solo, calcule a sua altura máxima h e sua velocidade v f quando colide com o solo. Adote k como 0,006   m - 1 e assuma que g é constante.

Passo 1

Galera, vamos primeiro tentar achar tempo t s do solo até o ápice. Como temos a expressão da aceleração a u = - g - k v 2 em termos da velocidade, temos que usar uma equação diferencial que relacione essas três coisas: velocidade, aceleração e tempo.

Então, podemos usar a seguinte equação diferencial:

a   d t = d v

Substituindo o valor de a u :

- g - k v 2   d t = d v

Passo 2

Show! Agora, vamos dar uma ajeitadinha na equação e integrá-la:

d t = - 1 g + k v 2   d v

Lembre-se que a bola parte do solo com 30   m / s e alcança o ápice com velocidade nula:

∫ 0 t s d t = - ∫ 30 0 1 g + k v 2   d v

Vamos primeiro calcular a integral da direita:

∫ 1 g + k v 2   d v = ∫ 1 g 1 + k g v 2   d v = 1 g ∫ 1 1 + k g v 2   d v = 1 g g k a r c t g k g v + C = 1 g k a r c t g k g v + C

Passo 3

Então, temos:

t 0 t s = - 1 g k a r c t g k g v 30 0

t s = - 1 g k a r c t g   0 - a r c t g 30 k g

t s = 1 g k a r c t g 30 k g

Se substituirmos os valores das constantes k = 0,006   m - 1 e g = 9,8   m / s 2 , teremos:

t s = 2,63   s

Passo 4

Beleza! Para encontrar o tempo de descida t d , também vamos usar a equação diferencial:

a   d t = d v

Substituindo o valor de a d :

- g + k v 2   d t = d v

d t = 1 k v 2 - g   d v

Conforme já calculado no Prob 51/2, quando a bola retorna ao solo a velocidade é 24,1   m / s , e vamos usá-la negativa porque a velocidade é para baixo:

∫ 0 t d d t = ∫ 0 - 24,1 1 k v 2 - g   d v

Consultando uma tabela de integrais, podemos calcular:

∫ 1 k v 2 - g   d v = 1 2 g k ln ⁡ v - g k v + g k + C

Passo 5

Então, temos:

t 0 t d = 1 2 g k ln ⁡ v - g k v + g k 0 - 24,1

t d = 1 2 g k ln ⁡ - 24,1 - g k - 24,1 + g k - ln ⁡ - 1

t d = 1 2 g k ln ⁡ - 24,1 - g k - 24,1 + g k

Se substituirmos os valores das constantes k = 0,006   m - 1 e g = 9,8   m / s 2 , obteremos:

t d = 2,83   s

Tudo certo?

Resposta

t s = 2,63   s

t d = 2,83   s

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