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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinâmica: Mecânica para Engenharia - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 12.Problemas - Ex. 153

Uma bola é chutada com velocidade escalar inicial v A = 8   m / s a um ângulo θ A = 40 ° com a horizontal. Encontre a equação da trajetória, y = f ( x ) , e, em seguida, determine as componentes normal e tangencial da sua desaceleração quando t = 0,25 s.

Passo 1

O enunciado nos diz que :

Velocidade escalar em A : v = 8 m/s;

Ângulo com a horizontal: θ = 40 ° ;

Devemos determinar a equação da trajetória e as componentes normal e tangencial da aceleração quando t = 0,25 s.

Passo 2

Primeiramente, vamos analisar o movimento na horizontal.

A componente da velocidade na horizontal é

v x = 8 cos ⁡ 40 ° = 6,128   m / s

O deslocamento inicial é s 0 x = 0 e o deslocamento final será de s x = x .

Logo,

s x = s 0 x + v x t

x = 0 + 6,128 t

Passo 3

Em seguida, vamos analisar o movimento na vertical.

A componente da velocidade na vertical é

v y = 8 sen ⁡ 40 ° = 5,142   m / s

O deslocamento inicial é s 0 y = 0 e o deslocamento final será de s y = y .

Logo,

s y = s 0 y + v y t + 1 2 a t 2

y = 0 + 5,142 t + 1 2 - 9,81 t 2

A aceleração da gravidade é negativa pois age no sentido contrário ao deslocamento em y .

Passo 4

Agora vamos unir as equações obtidas anteriormente para obter y = f ( x ) .

Temos

x = 6,128 t

Logo,

t = x 6,128

Substituindo em y , obtemos

y = 5,142 x 6,128 + 1 2 - 9,81 x 6,128 2

y = 0,8 39 x - 0,131 x 2

Passo 5

Em seguida, vamos determinar as componentes normal e tangencial da desaceleração da bola quando t = 0,25 s.

A componente normal da aceleração está sempre direcionada para o centro da curvatura da trajetória, ou seja, ao longo do eixo positivo normal n . Este eixo é perpendicular à tangente da trajetória.

A tangente da trajetória é dada por

d y d x = 0,839 - 0,262 x

E

α = tan - 1 ⁡ d y d x

Onde o ângulo α é o ângulo que a tangente faz com o eixo x .

Em t = 0,25 s, temos que

x = 6,128 t = 1,532   m

d y d x = 0,839 - 0,262 x = 0,4389

α = tan - 1 ⁡ d y d x = 23,7 °

Para uma melhor visualização, desenhamos como os eixos estão relacionados:

Portanto, temos que, em t = 0,25 s,

a n = a cos ⁡ α = 9,81 cos ⁡ 23,7   ° = 3,94   m / s 2

a t = a sen ⁡ α = 9,81 sen ⁡ 23,7   ° = 8,98   m / s 2

Resposta

y = 0,839 x - 0,131 x 2

a n = 3,94   m / s 2

a t = 8,98   m / s 2

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