Uma bola cujas extremidades foram truncadas é usada para suportar a carga de apoio P . Se o módulo de elasticidade para o material for E , determine o decréscimo em sua altura quando a carga é aplicada.

Passo 1

Queremos encontrar o decréscimo na altura da “bola” quando a carga P   for aplicada. Para esse caso vamos ter que o decréscimo ( δ ) vai ser dado por uma integral que pode ser calculada como sendo

δ = 2 ⋅ ∫ 0 h P   d y A y ⋅ E

Passo 2

Podemos fazer a seguinte construção geométrica para modelar esse problema

Aplicando Pitágoras no triângulo destacado na figura, vamos ter

x 2 = r 2 - y 2

Assim, vamos ter

A y = π ⋅ x 2 → A y = π ⋅ r 2 - y 2  

Também podemos fazer o seguinte pitágora

r 2 2 = r 2 - h 2 → h = 3 2 ⋅ r = 0,866 ⋅ r

Passo 3

Por fim, basta substituirmos os valores nas integrais e está resolvido o nosso problema

δ = 2 ⋅ ∫ 0 h P   d y A y ⋅ E = 2 P E ⋅ ∫ 0 h   d y π ⋅ r 0 2 - y 2

δ = 2 P π ⋅ E ⋅ 1 2 r ⋅ ln ⁡ r + y r - y 0 0 , 866 r 0 =   2,63 ⋅ P π ⋅ r 0 ⋅ E

Resposta

δ = 2,63 ⋅ P π ⋅ r 0 ⋅ E

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