Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Resistência dos materiais - 7ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 7º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 47
O elo rígido é sustentado por um pino em , um cabo de aço com comprimento de quando não alongado com área de seção transversal de e um bloco curto de alumínio com de comprimento quando não carregado com área de seção transversal de . Se o elo for submetido à carga vertical mostrada na figura, determine a rotação do elo em torno do pino . , .
Passo 1
Um elo em formato de “L” tem três suportes: um pino em , um cabo de aço e um bloco de alumínio em D (uma barra ligando o “L” a uma parede).
Características do cabo :
- Aço:
- Área transversal: .
- Comprimento inicial: .
- Alumínio: ,
- Área transversal: .
- Comprimento inicial: .
Características do bloco em :
O carregamento é uma força vertical concentrada de .
Tem suportes demais nesse elo, o papel deles é deixar o “L” fixo. Porém, quando o carregamento atuar, o “L” vai girar um pouco ao redor do pino em , então o cabo e o bloco vão deformar (esticando e comprimindo).
Queremos o ângulo que o “L” gira, temos que ver primeiro como ele aparece.
Passo 2
O elo gira por causa do carregamento, e como ele é rígido, vai fazer o mesmo ângulo em todos os lugares.
Como estamos usando pequenas deformações, podemos achar o ângulo como . Olhando no ponto , quando esse ponto se move o cabo estica um comprimento , e aí temos
Também por causa de serem pequenas deformações, pode considerar que o cabo está esticando reto, então não se preocupe com isso.
Beleza, então pra achar o ângulo temos que achar o deslocamento Sabemos que pela fórmula da relação carga-deslocamento:
Então pra calcular isso tudo precisamos da força que estica o cabo!
Passo 3
Diagrama de corpo livre.
Vamos pras condições de equilíbrio. Vamos fazer o equilíbrio dos momentos no ponto , assim as reações ali () não contribuem e não precisamos nos preocupar com esses caras. Atenção aos sinais!
Vamos precisar de mais uma equação pra achar
Passo 4
A outra equação vem da condição de compatibilidade. O elo gira com ângulo constante pra qualquer ponto (ele é rígido!). Então temos o mesmo ângulo perto do cabo e perto do bloco.
De novo por causa de podemos relacionar o ângulo ao deslocamento do bloco (veja figura no Passo 2). Assim,
Foi coincidência as distâncias serem iguais! Em outras questões parecidas, você tem que se preocupar com o ângulo primeiro!
Passo 5
Agora, usando a fórmula da relação carga-deslocamento:
Procure por para podermos substituir depois:
Substitua na equação que saiu do equilíbrio dos momentos:
Passo 6
Vamos voltando nas fórmulas, para poder achar o ângulo! Cuidado com as unidades.
Resposta
Ângulo: