Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Resistência dos materiais - 7ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 7º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 44
O corpo de prova representa um sistema de matriz reforçado por filamentos feitos de plástico (matriz) e vidro (fibra). Se houver fibras, cada uma com área de seção transversal e módulo , embutidas em uma matriz com área de seção transversal e módulo , determine a tensão na matriz e em cada fibra quando a força for imposta ao corpo de prova.
Passo 1
Temos uma estrutura feita por dois materiais. O principal (matriz) é plástico, e pra reforçar tem umas fibras de vidro. Não tem valores nessa questão, então vamos definir as variáveis.
Características da matriz:
- Área transversal:
- Módulo de elasticidade:
- Área transversal:
- Módulo de elasticidade:
- Quantidade de fibras:
Características das fibras:
Um forçamento é imposto na estrutura (em tudo!), comprimindo.
Até aqui, todas essas letras são pra ser consideradas conhecidas!
O que queremos é a tensão na matriz e em cada fibra. A fórmula pra tensão é
Sabemos as áreas, então pra achar as tensões só nos falta as forças internas.
Vamos chamar de a força na matriz e a força em uma fibra. São esses dois que queremos achar primeiro!
Passo 2
Só tem uma direção no problema, então já sabe que é tranquilo! As forças internas vão resistir o forçamento .
Equilíbrio de forças:
Atenção que temos uma força para cada fibra, por isso aquele ali. A matriz reage como um todo, por isso uma força só pra ela.
Duas incógnitas ( e ) e uma equação. Precisamos de mais uma equação!
Passo 3
Se a matriz (como um todo) diminuir um comprimento , então o comprimento que cada fibra diminui tem que ser igual. A condição de compatibilidade é:
Use a fórmula da relação carga-deslocamento:
O comprimento inicial da matriz e das fibras é o mesmo, então o ali é o mesmo dos dois lados.
Isole uma das forças para achar:
Passo 4
Vamos determinar cada força baseado nas variáveis que conhecemos.
Substitua na equação do balanço de forças o encontrado:
Agora substitua na relação entre as forças para achar
Passo 5
Divida pelas áreas para achar as tensões.
Resposta
Tensão em uma fibra:
Tensão na matriz: