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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinâmica: Mecânica para Engenharia - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 16.Problemas - Ex. 136

A bola C se desloca ao longo da ranhura de A para B com uma velocidade de 0,9 m/s e aceleração de 0,45 m/s2, ambas medidas em relação à placa circular. Nesse mesmo instante, a placa gira com a velocidade angular e a desaceleração angular mostradas. Determine a velocidade e a aceleração da bola nesse instante.

Passo 1

Para a resolução desse exercício, iremos utilizar a análise do movimento relativo usando um sistema de eixos em rotação. O eixo de rotação de referência x y z está coincidindo com o eixo X Y Z , como mostra a figura abaixo:

Analisando a figura, temos:

v O = a o = 0 ω = 6 k   r a d / s α = 1,5 k   r a d / s 2

Passo 2

Ainda de acordo com a figura do Passo 1, vamos calcular tanto a velocidade relativa quanto a aceleração relativa.

v r e l x y z = ( - 3 . sen ⁡ 45 ° i - 3 . cos ⁡ 45 ° j )   m / s = - 2,121 i - 2,121 j   m / s

a r e l x y z = ( - 1,5 . sen ⁡ 45 ° i - 1,5 . cos ⁡ 45 ° j )   m / s 2 = - 1,061 i - 1,061 j   m / s 2

Passo 3

A partir da geometria mostrada na figura abaixo, podemos perceber que r C / O = 0,6 . cos ⁡ 45 ° =   0,424   m . Então,

r C / O = ( - 0,424 . sen ⁡ 45 ° i + 0,424 . cos ⁡ 45 ° j )   m = - 0,300 i + 0,300 j   m

Agora que já calculamos a v r e l x y z e r C / O podemos calcular a velocidade relativa, para isso, vamos utilizar a equação da velocidade relativa.

v C = v O + ω × r C / O + v r e l x y z

Vamos substituir na equação acima os valores que já temos. Então,

v C = 0 + 6 k × - 0,300 i + 0,300 j + - 2,121 i - 2,121 j = - 1,8 i - 1,8 j + - 2,121 i - 2,121 j = - 3,921 i - 3,921 j   m / s

Passo 4

Agora que conseguimos encontrar o valor da velocidade, basta encontrarmos o valor da aceleração. Para isso, utilizaremos a fórmula abaixo:

a C = a O + ω ˙ × r C / O + ω × ω × r R / O + 2 ω × v r e l x y z + a r e l x y z = 0 + 1,5 k × - 0,300 i + 0,300 j + 6 k × 6 k × - 0,300 i + 0,300 j + 2.6 k × - 2,121 i - 2,121 j + - 1,061 i - 1,061 j = - 0,45 i - 0,45 j + 10,8 i - 10,8 j + 25,452 i - 25,452 j + - 1,061 i - 1,061 j = 34,741 i - 37,763 j   m / s 2

Resposta

v c = - 3,921 i - 3,921 j   m / s

a c = 34,741 i - 37,763 j   m / s 2

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