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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinâmica: Mecânica para Engenharia - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 15.Problemas - Ex. 68

Uma bola tem massa m e é deixada cair sobre uma superfície a partir de uma altura h . Se o coeficiente de restituição entre a bola e a superfície é e , determine o tempo necessário para a bola parar de quicar.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Aplicando conservação de energia, temos:

T 1 + V 1 = T 2 + V 2

0 + m g h = 1 2 m v 2 + 0

v = 2 g h

O tempo de queda é dado por:

v = v 0 + a t

2 g h = 0 + g t 1

t 1 = 2 h g

Após o impacto, temos:

e = v 2 v

v 2 = e 2 g h

Para o ponto mais baixo da trajetória, temos:

T 2 + V 2 = T 3 + V 3

1 2 m e 2 g h 2 + 0 = 0 + m g h 2

h 2 = 1 2 e 2 2 g h g = e 2 h

O tempo de subida é dado por:

v = v 0 + a t

v 3 = v 2 - g t 2

0 = e 2 g h - g t 2

t 2 = e 2 h g  

Passo 2

Todos os dados calculados até agora dizem respeito a primeira quicada. Vamos fazer uma analise dos tempos de quicada e preciso que você fique bem atento agora!!!

O tempo total para a primeira quicada é dado por:

t 1 q = t 1 + t 2 = 2 h g + e 2 h g

t 1 q = 2 h g ( 1 + e )

Para a segunda quicada, temos:

t 2 q = 2 h 2 g ( 1 + e )

t 2 q = 2 h g ( 1 + e ) e

Para a terceira quicada, temos:

t 3 q = 2 h 3 g ( 1 + e )

t 3 q = 2 h g 1 + e e 2

Podemos perceber um comportamento e estimar um tempo total como:

t t o t = 2 h g 1 + e 1 + e + e 2 + e 3 + …

t t o t = 2 h g 1 + e 1 - e  

Resposta

t t o t = 2 h g 1 + e 1 - e    

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