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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinâmica: Mecânica para Engenharia - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 19.Problemas - Ex. 50

A prancha rígida de 15   k g é atingida pela cabeça do martelo H de 7,5   k g . Imediatamente antes do impacto, o martelo é seguro livremente e tem uma velocidade vertical de 22,5   m / s . Se o coeficiente de restituição entre a cabeça do martelo e a prancha é e = 0,5 , determine a altura máxima alcançada pelo bloco D , de 25   k g . O bloco pode deslizar livremente ao longo das duas barras-guia verticais. A prancha está inicialmente em uma posição horizontal.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Podemos aplicar o princípio da conservação da quantidade de movimento angular para o sistema.

H B 1 = H B 2

Temos que:

H B 1 = ∑ r m v 1 + ∑ I ω 1

Vamos analisar cada somatório:

∑ r m v 1 = r m m v m 1 + r m D v D 1 + r m G P v G P 1

Onde o índice m representa o martelo, o índice D representa o bloco D e o índice G P , representa o centro de massa da prancha.

Temos que a prancha e o bloco estão em repouso, inicialmente, logo:

∑ r m v 1 = r m m v m 1 = 0,9 7,5 22,5

∑ r m v 1 = 151,875

O termo ∑ I G ω 1 será nulo, pois no primeiro momento a velocidade angular é nula.

Portanto:

H B 1 = 151,875 + 0 = 151,875

Para o momento final, temos:

H B 2 = ∑ r m v 2 + ∑ I ω 2

Seguindo o mesmo procedimento anterior, temos:

∑ r m v 2 = r m m v m 2 + r m D v D 2 + r m G P v G P 2

As velocidades podem ser expressas como termos da velocidade angular:

v = ω r

Logo:

∑ r m v 2 = ( - 3 ) ( 0,9 ) v m 2 + 0,3 25 ω 2 0,3 + r G / B 15 ( ω 2 r G / B )

Temos que:

r G / B = 0,3 + 0,9 + 0,15 2 - 0,3

r G / B = 0,375

Portanto:

∑ r m v 2 = ( - 0,9 ) ( 7,5 ) v m 2 + 0,3 25 ω 2 0,3 + 0,375 15 ( 0,375 ω 2 )

∑ r m v 2 = 4,36 ω 2 - 6,75 v m 2

Com relação ao momento de inércia, temos:

I G = 1 12 m l 2

I G = 1 12 15 0,3 + 0,9 + 0,15 2

I G = 2,78125   k g ⋅ m 2

Logo:

H B 2 = 4,36 ω 2 - 6,75 v m 2 + 2,78125 ω 2

H B 2 = 6,638125 ω 2 - 6,75 v m 2

Organizando, temos:

H B 1 = H B 2

151,875 = 6,638125 ω 2 - 2,7 v m 2

Passo 2

Precisamos de outra equação para resolver o sistema, vamos analisar a restituição:

e = v A 2 - v m 2 v m 1 - v A 1

0,5 = ( - 0,9 ω 2 ) - v m 2 - 22,5 - 0

11,25 = 0,9 ω 2 + v m 2

v m 2 = 11,25 - 0,9 ω 2

Logo:

151,875 = 6,638125 ω 2 - 2,7 11,25 - 0,9 ω 2

ω 2 = 43,31   r a d / s

v m 2 = 11,25 - 0,9 43,31

v m 2 = - 27,73   m / s

Passo 3

Agora vamos aplicar conservação de energia para encontrar a velocidade de D :

T 2 + V 2 = T 3 + V 3

Para o momento inicial do movimento de D , temos:

T 2 = 1 2 m D v D 2 2

Sabendo que v D 2 = ω 2 0,3 = 13   m / s .

T 2 = 1 2 25 13 2

T 2 = 2112,5   J

Temos também que:

V 2 = m g h 2

Como a altura inicial é nula, temos que:

V 2 = 0

Para o momento em que o bloco D está no ponto mais alto, temos:

T 3 = 1 2 m D v D 3 2

Sabendo que no ponto mais alto a velocidade é nula, temos que v D 3 = 0 , logo:

T 3 = 0

Temos também que:

V 3 = m g h 3

V 3 = 25 9,81 h

V 3 = 245,25 h

Logo:

2112,5   + 0 = 0 + 245,25 h

h = 8,61366   m

Resposta

h = 8,61366   m

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