A barra fina de comprimento L e massa m é solta do repouso quando θ = 0°. Determine como uma função de θ as forças normal e de atrito que são exercidas pelo degrau sobre a barra em A na medida em que ela cai para baixo. Em qual ângulo θ a barra começa a deslizar se o coeficiente de atrito estático em A é μ ?

Passo 1

Nesse exercício, iremos primeiramente calcular o momento de inércia e as componentes normal e tangencial da aceleração.

Momento de inércia:

I G = 1 12 m L 2

Componente normal da aceleração:

a G n = ω 2 r G = ω 2 L 2

Componente tangencial da aceleração:

a G t = α r G = α L 2

Passo 2

Agora iremos aplicar as equações do movimento ao sistema com o auxílio da figura a seguir:

Começando pelo somatório de momentos em torno do ponto A:

↺ + ∑ M A = ∑ M k O

- m g c o s θ L 2 = - 1 12 m L 2 α - m α L 2 L 2

α = 3 g c o s θ 2 L

Essa será nossa equação número 1. Agora, aplicaremos o somatório de forças na direção tangencial:

+ ↙ ∑ F t = m a G t

m g c o s θ - N A = m α L 2

Substituindo a equação 1 nessa expressão obteremos a força de reação em A:

m g c o s θ - N A = m 3 g c o s θ 2 L L 2

N A = m g c o s θ 4

Essa será nossa equação número 2. Agora aplicaremos o somatório de forças na direção normal:

+ ↖ ∑ F n = m a G n

F a - m g s e n θ = m ω 2 L 2

Essa será nossa equação número 3.

Passo 3

Agora, iremos lançar mão da equação fornecida no livro:

ω d ω = α d θ

Substituindo o valor de α encontrado na equação 1 e integrando:

∫ 0 ω ω d ω = ∫ 0 θ 3 g c o s θ 2 L d θ

ω 2 0 2 = 3 g s e n θ 2 L 0 θ

ω 2 = 3 g s e n θ L

Substituindo esse valor na equação número 3, obteremos o valor da força de atrito:

F a - m g s e n θ = m ω 2 L 2

F a - m g s e n θ = m 3 g s e n θ L L 2

F a = 5 m g s e n θ 2

Agora, para obter o ângulo em que a barra começa a deslizar, assumiremos o caso limite, onde:

F a = μ N A

Sendo assim, substituindo os valores de F a e N A já obtidos:

5 m g s e n θ 2 = μ m g c o s θ 4

θ = t g - 1 μ 10

Resposta

N A = m g c o s θ 4

F a = 5 m g s e n θ 2

θ = t g - 1 μ 10

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