O braço ranhurado gira no plano horizontal em torno do eixo vertical fixo que passa pelo ponto O . O cursor C de 2   k g é puxado em direção a O na taxa constante de 50   m m / s tracionando o cordão S . No instante em que r = 225   m m , o braço tem uma velocidade angular no sentido anti-horário ω = 6   r a d / s e que está diminuindo na taxa de 2   r a d / s ² . Para esse instante, determine a tração T no cordão e o módulo N da força exercida sobre o cursor pelas superfícies laterais da ranhura radial lisa. Indique qual lado, A ou B , da ranhura tem contato com o cursor.

Passo 1

Vamos organizar as informações que nos deram no enunciado: A massa do cursor é m = 2   k g e a velocidade angular é ω = θ ˙ = 6   r a d / s .

A taxa com que o cordão é puxado é a derivada temporal do raio r :

r ˙ = 50 m m s = 0,05   m / s

E a taxa com que a velocidade angular diminui é (menos) a aceleração angular:

α = ω ˙ = θ ¨ = - 2 r a d s 2

Nosso primeiro objetivo é determinar a tração T no cordão.

Passo 2

Quando estiver trabalhando com coordenadas polares é uma boa ideia definir as direções tangencial e normal pelo desenho:

A força de tração está na direção do fio que puxa a massa. E ela é a única força atuando na direção r . É importante lembrar que essa imagem é uma visão de cima, portanto a força peso é perpendicular ao plano da página!

∑ F r = - T

E o sinal negativo aparece para respeitar a convenção de que o sentido positivo aponta para longe do centro da trajetória.

E pela fórmula da aceleração radial em coordenadas polares:

- T = m r ¨ - r θ ˙ 2

T = - ( 2 ) 0 - 0,225 6 2

T = 16,2   N

Passo 3

E a força normal cumpre um papel bastante parecido: ela é a única força atual na direção n !

∑ F n = m a θ

N = m ( r θ ¨ - 2 r ˙ θ ˙ )

N = 2 0,225 - 2 - 2 0,05 6 = - 2,1   N

Nesse caso N é a normal “resultante” sobre a massa, já que a princípio as duas paredes do braço poderiam estar exercendo forças de contato em direções opostas uma a outra.

O fato de que N é negativo indica que a força normal está apontando no sentido horário, ou seja, ela é a força de contato exercida pela parede B !

Resposta

A força de tração no fio é T = 16,2   N e a força normal é N = - 2,1   N exercida pelo lado B da ranhura.

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