O carro tem uma velocidade de 70   k m / h na base da depressão quando o piloto aciona os freios, provocando uma desaceleração de 0,5   g . Qual é o ângulo θ mínimo da almofada do banco para o qual um pacote não deslizará para frente? O coeficiente de atrito estático entre o pacote e a almofada do banco é (a) 0,2 e (b) 0,4 .

Passo 1

Vamos definir duas direções x e y no desenho da almofada:

E podemos montar as equações sem problemas:

∑ F x = 0

∑ F y = m v 2 r

Já que tem que existir uma força centrípeta apontando para cima (centro da trajetória nesse caso).

E podemos considerar que a aceleração a gera uma força que tem módulo F = m a = 0,5 g :

∑ F x = F a t cos ⁡ θ - 0,5 m g + N sen ⁡ θ = 0

∑ F y = - m g + N cos ⁡ θ - F a t sen ⁡ θ = m v 2 r

Lembrando que, como nos exercícios de plano inclinado:

F a t = N μ

Passo 2

E então ficamos com o seguinte sistema:

μ N cos ⁡ θ - 0,5 g + N sen ⁡ θ = 0 N cos ⁡ θ - μ sen ⁡ θ - m g = m v 2 r

Da primeira equação podemos encontrar o seguinte:

N = 0,5 m g μ cos ⁡ θ + sen ⁡ θ

E podemos substituir isso na segunda:

0,5 m g μ cos ⁡ θ + sen ⁡ θ cos ⁡ θ - μ sen ⁡ θ - m g = m v 2 r

E dividindo tudo por m g :

0,5   cos ⁡ θ - μ sen ⁡ θ ( sen ⁡ θ + μ cos ⁡ θ ) - 1 = v 2 g r

E substituind os valores numéricos:

cos ⁡ θ - μ sen ⁡ θ ( sen ⁡ θ + μ cos ⁡ θ ) = 2,9635

Passo 3

Como queremos calcular o ângulo de não-deslizamento para diferentes valores de μ , vamos reorganizar essa fórmula:

cos ⁡ θ - μ sen ⁡ θ ( sen ⁡ θ + μ cos ⁡ θ ) = 2,9635

cos ⁡ θ - μ sen ⁡ θ = 2,9635 ( sen ⁡ θ + μ cos ⁡ θ )

1 - 2,9635 μ cos ⁡ θ = 2,9635 + μ sen ⁡ θ

tan ⁡ θ = 1 - 2,9635 μ 2,9635 + μ

E agora podemos calcular os dois ângulos:

(a)

μ = 0,2           ⇒       tan ⁡ θ = 0,1287         ⇒         θ = 7,34 °

(b)

μ = 0,4         ⇒       tan ⁡ θ = - 0,05512         ⇒           θ = - 3,15 °

Nesse segundo caso (ângulo negativo), a inclinação do banco é voltada para baixo.

Resposta

(a) θ = 7,34 ° e (b) θ = - 3,15 ° .

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