Um cabo que pesa 50 newtons por metro de comprimento é preso no ponto A e passa sobre a polia pequena em B no mesmo nível sob uma tensão T. Determine o valor mínimo de T para suportar o cabo e a deflexão h correspondente.

Para determinar o valor mínimo da tensão T, precisaremos escrever sua função e encontrar sua primeira derivada (já que a primeira derivada é igual a zero no mínimo e no máximo de uma função).

Substitua por seu valor ex pela coordenada do ponto B, uma vez que a tensão T atua no ponto B.

Observe que a tensão T é função de T0, portanto, derivaremos a expressão acima em relação a T0.

Usando uma calculadora de derivativos passo a passo como derivative-calculator.net, derivaremos a expressão acima.

Como dissemos antes, para determinar o valor mínimo da função T(T0), precisaremos igualar a primeira derivada, ou seja, a expressão (2) a zero.

Usando uma calculadora gráfica como o Desmos (link nos comentários), vamos representar graficamente a expressão (2) e ler o valor de T0 em T(T0) = 0

Observe que existem duas soluções:

Uma solução indica que a função T(T0) é máxima naquele ponto e a outra que a função é mínima.

Existem algumas maneiras de verificar se a função está em seu máximo ou mínimo em um determinado ponto, mas a mais fácil é desenhar a função. Mais uma vez usando uma calculadora gráfica como o Desmos, podemos ver que a função T(T0) é mínima em:

Substitua T0 por seu valor na expressão (1) para determinar a tensão mínima T necessária para manter o cabo na posição

Observe que, uma vez que o cabo torce uma forma catenária, sua função é:

Substitua T0 e por seus valores e coloque as coordenadas do ponto B na equação.

Finalmente, a curvatura h é: