Calcule a velocidade de impacto de um corpo liberado a partir do repouso a uma altitude h = 800k m . (a) suponha uma aceleração gravitacional constante g 0 = 9,81m / s ² ² e (b) considere a variação de g com a altitude (veja a seção 1/5). Despreze os efeitos do arrasto atmosférico.

(a) v = 3961,8m / s (b) v = 3743,3m / s

Enunciado

(a) Bom, se a gente supôr que a aceleração é constante a situação fica bastante simples. Vamos ter os seguintes valores:

Perceba que aqui o sentido positivo é vertical para baixo. Como não estamos interessados no tempo, vamos usar a equação de Torricelli:

Beleza, agora vamos parar com as mentiras: vamos levar em conta a variação na aceleração da gravidade. Tudo fica muito mais interessante.

A fórmula para a aceleração da gravidade é:

E nesse caso , já que o corpo cai em linha reta. Além disso, como estamos considerando apenas o efeito da gravidade, temos .

Dessa vez colocamos um sinal negativo porque agora é mais fácil tomar o sentido vertical para cima como positivo.

Vamos usar a definição da aceleração:

E então:

Substituindo a expressão de cima:

Ótimo, podemos resolver essa equação diferencial para encontrar uma relação entre posição e velocidade.

Agora vamos integrar dos dois lados. Lembrando que vai de até (onde é o raio da Terra), enquanto vai de até o valor final que queremos descobrir:

E resolvendo as integrais ficamos com o seguinte:

Substituindo os valores numéricos vamos ficar com o seguinte resultado:

Pronto!

(a)

(b)