Uma carga homogênea de propelente sólido para um foguete está na forma de um cilindro circular com um furo concêntrico de profundidade x . Para as dimensões mostradas, faça um gráfico de X - , a coordenada x do centro de massa do propelente, em função da profundidade x do furo desde x = 0 até x = 600 mm. Determine o valor máximo de X - e mostre que ele é igual ao valor correspondente de x .

X - = 1440000 - x 2 4800 - 2 x X - M á x = X - 322 = 322m m á

Enunciado

Vamos calcular o centro de massa do propelente através da fórmula para o centro de massa de dois corpos homogêneos combinados:

Nesse caso consideramos como corpo 1 o cilindro maior inteiro, e como corpo 2 a parte vazia, como se fosse um segundo corpo de volume negativo.

Primeiro calculamos o volume do cilindro maior inteiro:

O centro de massa se situa no meio do cilindro:

Agora calculamos o volume do buraco cilíndrico:

O centro de massa fica no meio:

Vamos agora aplicar a fórmula:

Vamos dividir em cima e em baixo por para simplificar:

Treçamos então o gráfico de em função de :

Agora vamos maximizar a função . O máximo ocorrerá quando . Vamos então derivar:

Como o denominador é sempre positivo, queremos então o denominador igual a zero. Então:

Resolvemos a equação de segundo grau para encontrar :

Como queremos um valor entre 0 e 600 mm:

O valor de nesse ponto é: