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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Resistência dos materiais - 7ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 7º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 51

51. As cargas internas em uma seção da viga consistem em uma força axial de 500   N , uma força de cisalhamento de 800   N e duas componentes de momento 30   N ⋅ m e 40   N ⋅ m . Determine as tensões principais no ponto A . Calcule também a tensão de cisalhamento máxima nesse ponto.

Passo 1

Primeiro vamos calcular o momento de polar de inércia da seção transversal. Sabemos que para seções retangulares, temos a seguinte equação de momento de polar de inércia:

I = 1 12 ( b h 3 )

Onde b é o tamanho da parede paralela ao eixo e h é o tamanho da parede perpendicular ao eixo. Ahh! Esse momento que estamos calculando é em relação ao eixo x , viu!

I x = 1 12 ( 0,1 × 0,2 3 )

I x ≅ 6,6667 × 10 - 5   m 4

Passo 2

Calcularemos então, a tensão no ponto A :

σ A = N z A - M x y A I x

σ A = 500   N ( 0,1 × 0,2 )   m 2 - ( 30   N ⋅ m ) ( 0,1   m ) 6,6667 × 10 - 5   m 4

σ A ≅ - 20   k P a   ( C o m p r e s s ã o )

Passo 3

E depois, vamos fazer o cálculo da tensão máxima de cisalhamento no ponto A :

τ A = V Q A I t

Mas, como Q A = 0 , então:

τ A = 0   k P a

Passo 4

Em seguida, vamos tratar de determinar as tensões principais no ponto A :

σ 1,2 = σ x + σ y 2 ± σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

Essa fórmula acima nos fornece duas tensões, uma máxima σ 1 e outra mínima σ 2 :

σ 1 = ( - 20   k P a ) + ( 0   k P a ) 2 + - 20   k P a - ( 0   k P a ) 2 2 + ( 0   k P a ) 2

σ 1 ≅ - 10   k P a + 10   k P a

σ 1 = σ y ≅ 0   k P a

σ 2 = ( - 20   k P a ) + ( 0   k P a ) 2 - - 20   k P a - ( 0   k P a ) 2 2 + ( 0   k P a ) 2

σ 2 ≅ - 10   k P a - 10   k P a

σ 2 = σ x ≅ - 20   k P a

Passo 5

Finalmente, vamos calcular a tensão de cisalhamento máxima no plano τ m á x nesse ponto:

τ m á x = σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

τ m á x = - 20   k P a - 0   k P a ) 2 2 + ( 0   k P a ) 2

τ m á x ≅ 10   k P a

Resposta

As tensões principais no ponto A são:

σ 1 = σ y ≅ 0   k P a

σ 2 = σ x ≅ - 20   k P a

A tensão de cisalhamento máxima no plano é:

τ m á x ≅ 10   k P a

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