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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Resistência dos materiais - 7ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 7º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 52

As cargas internas em uma seção da viga consistem em uma força axial de 500   N , uma força de cisalhamento de 800   N e duas componentes de momento 30   N ⋅ m e 40   N ⋅ m . Determine as tensões principais no ponto B . Calcule também a tensão de cisalhamento máxima nesse ponto.

Passo 1

Primeiro vamos calcular o momento de polar de inércia da seção transversal. Sabemos que para seções retangulares, temos a seguinte equação de momento de polar de inércia:

I = 1 12 ( b h 3 )

Onde b é o tamanho da parede paralela ao eixo e h é o tamanho da parede perpendicular ao eixo.

Calculamos então os momentos em relação a x e y :

I x = 1 12 ( 0,1 × 0,2 3 )

I x ≅ 6,6667 × 10 5   m 4

I y = 1 12 ( 0,2 × 0,1 3 )

I y ≅ 1,6667 × 10 5   m 4

Passo 2

E depois vamos tratar de determinar a tensão no ponto B , pela fórmula abaixo:

σ B = N z A + M y x B I y

σ B = 500   N ( 0,1 × 0,2 )   m 2 + ( 40   N ⋅ m ) ( 0,05   m ) 1,6667 × 10 5   m 4

σ B ≅ 145   k P a   ( T r a ç ã o )

Passo 3

Depois, façamos o cálculo da tensão máxima de cisalhamento no ponto B :

τ B = V y Q B I x t

τ B = ( 800   N ) ( 0,075 × 0,1 × 0,05   m 3 ) ( 6,6667 × 10 5   m 4 ) ( 0,1 m )

τ B ≅ 60   k P a

Passo 4

Quase Acabando! Vamos lá! Calcularemos, então, as tensões principais no ponto B :

σ 1,2 = σ x + σ y 2 ± σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

Essa fórmula acima nos fornece duas tensões, uma máxima σ 1 e outra mínima σ 2 :

σ 1 = ( 145   k P a ) + ( 0   k P a ) 2 + 145   k P a - ( 0   k P a ) 2 2 + ( - 60   k P a ) 2

σ 1 ≅ 72,5   k P a + 94,108   k P a

σ 1 ≅ 167   k P a

σ 2 = ( 145   k P a ) + ( 0   k P a ) 2 - 145   k P a - ( 0   k P a ) 2 2 + ( - 60   k P a ) 2

σ 2 ≅ 72,5   k P a - 94,108   k P a

σ 2 ≅ - 21,6   k P a

Passo 5

Finalmente, vamos calcular a tensão de cisalhamento máxima no plano τ m á x nesse ponto:

τ m á x = σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

τ m á x = 145   k P a - 0   k P a ) 2 2 + ( - 60   k P a ) 2

τ m á x ≅ 94,1 k P a

Resposta

As tensões principais no ponto B são:

σ 1 ≅ 167   k P a

σ 2 ≅ - 21,6   k P a

A tensão de cisalhamento máxima no plano é:

τ m á x ≅ 94,1   k P a

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