O carro de 2 M g está sendo rebocado por um guincho. Se o guincho exerce uma força T = 100 s   N sobre o cabo, onde s é o deslocamento do carro em metros. Determine a velocidade escalar do carro quando s = 10   m , partindo do repouso. Despreze a resistência ao rolamento do carro.

Passo 1

Para obtermos a velocidade escalar do veículo, devemos primeiramente obter a equação do movimento. Do diagrama de corpo livre, temos:

∑ F x   = m a x   ∴ T = m a x

Sabendo que a tração desenvolvida no cabo é função do deslocamento, s   , e igual   ( 100 s ) , substituindo o valor da tração T e massa m na equação acima, teremos:

a = T m = ( 100 s ) 2000

a =     0,05 s   m / s 2

Passo 2

Podemos verificar que a aceleração do carro é função do deslocamento s , ou seja, na medida em que o veículo se movimenta, a aceleração irá variar, então, não podemos utilizar as equações da cinemática para aceleração contante.

Para a resolução do problema, devemos desenvolver uma equação que relacione velocidade, aceleração e deslocamento. Sabemos que a velocidade e aceleração de um corpo é igual a taxa de variação do deslocamento e da velocidade em um determinado tempo, ou seja:

v   =   d s d t ; a =   d v d t

Isolando d t nas equações acima, temos:

d t =   d s v = d v a

v d v   = a d s

Passo 3

Agora que encontramos uma equação que relaciona as variáveis v ,   a   e   s , temos que substituir o valor da aceleração a = 0,05 s   m / s 2 na equação acima, e integrar os dos lados da igualdade:

v d v   = ( 0,05 s ) d s

∫ v d v   =   ∫ ( 0,05 s ) d s  

No enunciado do problema, o carro parte do repouso ( v 0 = 0 ) em s = 0 e, em s   = 10 m, teremos a velocidade instantânea, assim, devemos integrar v d v   em um intervalo de ( 0   a   v ) , e ( 0,05 s ) d s     em um intervalo de ( 0   a   10 ) :

∫ 0 v v d v =   ∫ 0 10 m ( 0,05 s ) d s

v 2 2 v 0   =   0,05 s 2 2 10 m 0

1 2 v 2 - 0 2 =   0,025 ( 10 2 - 0 2 )

v 2 2   =   2,5   ∴ v = 2 × 2,5

v = 2,24 m / s

Resposta

Em s = 10   m , o veículo terá uma velocidade de 2,24   m / s .

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