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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Dinâmica Volume 2 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 2.7 - Ex. 177

O carro A está subindo uma rampa de estacionamento na forma de uma hélice cilíndrica de raio 7,2   m progredindo 3   m para cada meia volta. Na posição mostrada o carro tem uma velocidade de 25   k m / h , que está diminuindo na taxa de 3   k m / h por segundo. Determine as componentes r , θ e z da aceleração do carro.

Passo 1

Note que a curva da hélice, e portanto, a trajetória do carro, vai fazendo um ângulo γ constante com a horizontal. Se a cada meia volta, que corresponde a uma distância horizontal de π r , o carro sobe 3   m , então:

t g   γ = 3   m π 7,2   m = 0,1326

γ = t g - 1 0,1326 = 7,55 °

Assim, a velocidade v = 25   k m / h = 6,94   m / s tem duas componentes:

v z = v   s e n   γ = 6,94   s e n   7,55 ° = 0,912   m / s

v θ = v cos ⁡ γ = 6,94 cos ⁡ 7,55 ° = 6,88   m / s

E lembre-se do seguinte:

r θ ˙ = v θ

7,2   θ ˙ = 6,88

θ ˙ = 0,956   r a d / s

Passo 2

O exercício nos disse que o carro está diminuindo sua velocidade numa taxa de 3   k m / h por segundo. Isso significa que a aceleração tangencial é:

a t = - 3 3,6 = - 0,833   m / s 2

Essa aceleração tangencial, pelo fato de ser na mesma direção da velocidade, terá duas componentes nas mesmas direções de anteriormente:

a z = a t   s e n   γ = - 0,833   s e n   7,55 ° = - 0,109   m / s 2

a θ = a t cos ⁡ γ = - 0,833 cos ⁡ 7,55 ° = - 0,826   m / s 2

Passo 3

Agora só nos falta descobrir o valor da componente r da aceleração. Para isso, lembre-se:

a r = r ¨ - r θ ˙ 2

Como o raio r = 7,2   m é constante, temos r ¨ = r ˙ = 0 . Além disso, já calculamos θ ˙ = 0,956   r a d / s . Logo,

a r = r ¨ - r θ ˙ 2 = 0 - 7,2 0,956 2 = - 6,58   m / s 2

Resposta

a r = - 6,58   m / s 2

a θ = - 0,826   m / s 2

a z = - 0,109   m / s 2

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