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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 11.Problemas - Ex. 76

O carro A está viajando a 64 km/h quando entra em uma zona de velocidade de 30 km/h. O motorista do carro A desacelera a uma taxa de 16 ft/s° até atingir a velocidade de 30 mi/h, que então mantém. Quando o carro B, que estava inicialmente 60 pés atrás do carro A e viajando a uma velocidade constante de 72 km/h, entra na zona de velocidade, seu motorista desacelera a uma taxa de 20 pés/s² até atingir a velocidade de 45 km/h. Sabendo que o motorista do carro B mantém uma velocidade de 28 mi/h, determine (a) o mais próximo que o carro B chega do carro A, (b) o momento em que o carro A está 70 pés na frente do carro B

Passo 1

Dados:

v A 0 = 40 m i / h ;   p a r a   30 m i / h < v A ≤ 40 m i / h

a A = - 16 f t s 2 ;   F o r   v A = 30 m i h ,     a A = 0

x A / B 0 = 60 f t ; v B 0 = 45 m i / h ;   quando

x B = 0 , a B = - 20 f t / s 2 ;   p a r a   v B = 28 m i / h

a B = 0

Passo 2

Primeira nota

40 m i h = 58.667 f t s           30 m i / h = 44 f t / s

45 m i h = 66 f t s                           28 m i / h = 41.067 f t / s

E m   t = 0

Passo 3

As curvas v—t dos carros são mostradas:

Em t = 0 : Carro A entra na zona de velocidade

t = t B 1 : Carro B entra na zona de velocidade

t = t A : Carro A alcança sua velocidade final

t = t m i n : v A = v B

t = t B 2 : Carro B alcança sua velocidade final

Passo 4

(a) temos: a A = v A f i n a l   - v A 0 t A

Ou - 16 f t / s 2 = ( 44 - 58.667 ) f t / s t A

Ou t A = 0.91669 s

Além disso 60 f t = t B 1 v B 0

Ou 60 A = t B 1 ( 66 f t / s )   o u   t B 1 = 0.90909 s

E a B = v B f i n a l   - v B 0 t B 2 - t B 1

Ou - 20 f t / s 2 = ( 41.067 - 66 ) f t / s [ t B 2 - 0.90909 s

Carro B vai continuar a ultrapassar o carro A enquanto v B > v A . Portanto, x A / B m i n ocorrerá em v A = v B , que ocorre em:

t B 1 < t m i n   < t B 2

Para esse intervalo de tempo:

v A = 44 f t / s   v B = v B 0 + a B t - t B 3  

Então   e m   t = t m i n 44 f t / s = 66 f t / s + - 20 f t / s 2 t m i i - 0.90909 s

Ou t m i n = 2.00909 s

Por fim x A / B m i n = x A t m i n - x B t t i i n i n  

= t A v A 0 + v A f i n a l   2 + t m i n   - t A v A f i n a l  

- x B 0 + t B 1 v B 0 + t m i n - t B 1 v B 0 + v A f i n a l   2

= ( 0.91669 s ) 58.667 + 44 2 f t / s + ( 2.00909 - 0.91669 ) s × ( 44 f t / s )

- - 60 f t + ( 0.90909 s ) ( 66 f t / s ) + ( 2.00909 - 0.90909 ) s × 66 + 44 2 f t / s

= ( 47.057 + 48.066 ) f t - ( - 60 + 60.000 + 60.500 ) f t

= 34.623 f t

Ou x A / B m i n = 34.6 f t

Passo 5

(b) desde x A f B ≤ 60 f t   f o r   t ≤ t m i n ,   s e g u e - s e   q u e   x A / B = 70 f t   f o r   t > t B 2

  [ N o t a   t B 2 ≃ t t w i n   ]   .   E n t ã o ,   p a r a   t > t B 2

x A / B = x A / B m i n + t - t m i n v A t i m i  

- t B 2 - t m i n   v A f i n t l   + v B f i n a l   2 + t - t B 2 v B f i n a l  

Ou 70 f t = 34.623 f t + [ ( t - 2.00909 ) s × ( 44 f t / s ) ]

- ( 2.15574 - 2.00909 ) s × 44 + 41.06 2 f t / s + ( t - 2.15574 ) s × ( 41.067 ) f t / s

Ou t = 14.14 s

Resposta

(a) x A / B m i n = 34.6 f t

(b) t = 14.14 s

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