Os carros de um passeio de montanha-russa possuem uma velocidade de 30   k m / h quando passam pelo topo do trilho circular. Despreze qualquer atrito e calcule suas velocidades v quando atingem a posição horizontal na base. Na posição mais alta, o raio da trajetória circular de seus centros de massa é de 18   m , e todos os seis carros possuem a mesma massa.

Passo 1

Nesse problema, podemos utilizar a conservação da energia mecânica para calcular a velocidade v . Porém, precisamos primeiro determinar qual a altura do centro de massa G do sistema de carros quando passam pelo topo da montanha russa.

Então, observe a figura:

Agora, calculamos a altura do centro de massa assim:

h G = ∫ h   d m m

onde h é a altura de um ponto qualquer dos carros e d m é a massa infinitesimal. Porém, pela geometria do problema, temos:

h = r cos ⁡ θ '

h = 18 cos ⁡ θ '

onde θ ' é o ângulo partindo da vertical tracejada até o ponto h .

Passo 2

Além disso, como a massa é distribuída uniformemente pelos carros, temos:

d m d l = m l = m 18

d m = m 18 d l

Mas,

d l = r d θ ' = 18   d θ '

Ou seja,

d m = m 18 d l = m 18 18   d θ '

d m = m   d θ '

Passo 3

Assim sendo, obteremos:

h G = ∫ h   d m m = ∫ 18 cos ⁡ θ ' m   d θ '   m

h G = ∫ 18 cos ⁡ θ ' d θ '

Olhando novamente para a figura, vemos que os limites de integração serão - θ e θ , onde:

θ = l / 2 r = 18 / 2 18 = 0,5   r a d

Então:

h G = ∫ - 0,5 0,5 18 cos ⁡ θ ' d θ ' = 18   s e n 0,5 - 18   s e n   - 0,5

h G = 17,26   m

Passo 4

Finalmente, usamos a equação de conservação de energia:

Δ T + Δ V g = 0

1 2 m v 2 - v 0 2 + m g 0 - h G = 0

1 2 v 2 - 30 3,6 2 + 9,81 - 17,26 = 0

v = 20,2   m / s

v = 72,7   k m / h

Resposta

v = 72,7   k m / h

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