A cavidade de um corpo rígido liso está cheia com alumínio 6061 -   T 6 líquido. Quando frio, o líquido fica a 0,3   m m da parte superior da cavidade. Se essa parte superior não for coberta e a temperatura aumentar 110 ° C , determine as componentes da deformação ϵ x , ϵ y e ϵ z no alumínio. Dica: Use as Equações 10.18 com um termo adicional α Δ T para a deformação (Equação 4.4 ).

E aí, galera! Vamos resolver esse problema?

O enunciado pede que determinemos as componentes da deformação ϵ x , ϵ y e ϵ z no alumínio se a parte superior da caixa não for coberta e a temperatura aumentar 110 ° C . Nos dá como dica usar a equação 10.18 e adicionar o termo α Δ T nela.

Dados tabelados:

Coeficiente de dilatação linear do alumínio:

α a l = 24 ⋅ 10 6   ° C - 1

Módulo de elasticidade:

E a l = 68,9 ⋅ 10 9   G P a

Coeficoente de Poisson:

v = 0,35

Passo 1

Antes de fazermos as substituições, é importante observar que só vamos ter deformação no eixo z .

ϵ x = 0

ϵ y = 0

E como a parte superior da caixa não foi coberta, σ z = 0 .

Vamos então às equações 10.18 !

Para a deformação no eixo x , temos:

ϵ x = 1 E σ x - v σ y + σ z + α Δ T

0 = 1 68,9 ⋅ 10 9 σ x - 0,35 σ y + 0 + 24 ⋅ 10 - 6 ⋅ 110

σ x - 0,35 σ y = - 2,64 ⋅ 10 - 3 ⋅ 68,9 ⋅ 10 9

σ x - 0,35 σ y = - 181,896 ⋅ 10 6

Para a deformação no eixo y :

ϵ y = 1 E σ y - v σ x + σ z + α Δ T

0 = 1 68,9 ⋅ 10 9 σ y - 0,35 σ x + 0 + 24 ⋅ 10 - 6 ⋅ 110

σ y - 0,35 σ x = - 2,64 ⋅ 10 - 3 ⋅ 68,9 ⋅ 10 9

σ y - 0,35 σ x = - 181,896 ⋅ 10 6

Passo 2

Agora resolveremos o sistema, para encontrar σ x e σ y .

σ x - 0,35 σ y = - 181,896 ⋅ 10 6 σ y - 0,35 σ x = - 181,896 ⋅ 10 6

Isolamos σ x na primeira equação:

σ x = - 181,896 ⋅ 10 6 + 0,35 σ y

Substituimos na segunda:

σ y - 0,35 ( - 181,896 ⋅ 10 6 + 0,35 σ y ) = - 181,896 ⋅ 10 6

σ y + 63,6636 ⋅ 10 6 - 0 , 1225 σ y = - 181,896 ⋅ 10 6

0,8775 σ y + 63,6636 ⋅ 10 6 = - 181,896 ⋅ 10 6

σ y = - 279,84   M P a

Agora encontrando σ x :

σ x = - 181,896 ⋅ 10 6 + 0,35 ( - 279,84 ⋅ 10 6 )

σ x = - 279,84   M P a

Passo 3

Substituindo na equação 10.18 , descobrimos a deformação no eixo z :

ϵ z = 1 E σ z - v σ x + σ y + α Δ T

ϵ z = 1 68,9 ⋅ 10 9 0 - 0,35 - 279,84 ⋅ 10 6 - 279,84 ⋅ 10 6 + 24 ⋅ 10 - 6 ⋅ 110

ϵ z = 195,888 ⋅ 10 6 68,9 ⋅ 10 9 + 2,64 ⋅ 10 - 3

ϵ z = 5,483 ⋅ 10 - 3

Resposta

ϵ x = 0

ϵ y = 0

ϵ z = 5,483 ⋅ 10 - 3

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