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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Resistência dos materiais - 7ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 7º - Capítulo 10.Problemas - Ex. 61

Um material macio está confinado no interior de um cilindro rígido que repousa sobre um suporte rígido. Considerando que ϵ x =   0 e ϵ y   =   0 , determine qual será o fator de aumento do módulo de elasticidade quando é aplicada uma carga, se v = 0,3 para o material.

Passo 1

Olá, pessoal! Tudo bem?

Ao analisarmos a figura, vemos que uma força é aplicada no material macio que está no interior do cilindro rígido. Nessa configuração teremos que o deslocamento em x e em y será zero e as tensões atuantes nessas coordenadas são iguais. Existirá também uma tensão no eixo z e uma deformação.

A questão ainda pede o fator de aumento do módulo de elasticidade, ou seja, ela quer:

E ' E

Onde E ' é o módulo de elasticidade após a aplicação da força.

Dados que nos foram fornecidos:

v = 0,3

ϵ x =   0

ϵ y   =   0

σ x = σ y

Agora nos resta determinar quais são as deformações provenientes dessas tensões. Para isso utilizaremos essas equações:

ϵ x = 1 E σ x - v σ y + σ z

ϵ y = 1 E σ y - v σ x + σ z

ϵ z = 1 E σ z - v σ x + σ y

Passo 2

Primeiro vamos determinar quais são as tensões em x e y para isso utilizaremos a fórmula das deformações em cada eixo e igualar a 0 , visto que o cilindro é rígido, não haverá deformação.

ϵ x = 1 E σ x - v σ y + σ z

0 = 1 E σ x - v σ y + σ z

σ x = v ( σ y + σ z )

E na coordenada y .

ϵ y = 1 E σ y - v σ x + σ z

0 = 1 E σ y - v σ x + σ z

σ y = v ( σ x + σ z )

Como σ x = σ y teremos:

σ x = v ( σ x + σ z )

σ y = σ x = v σ z 1 - v

Agora na coordenada z haverá deformação pois o material é macio. Logo:

ϵ z = 1 E σ z - v σ x + σ y

ϵ z = 1 E σ z - v 2 σ x

ϵ z = 1 E σ z - v 2 ⋅ v σ z 1 - v

ϵ z = σ z E 1 - 2 v 2 1 1 - v

ϵ z = σ z E 1 - v - 2 v 2 1 - v

Passo 3

Próximo passo é determinar qual o aumento no módulo de elasticidade quando aplicada a força ( E ' ). Pela lei de Hooke temos:

σ z = ϵ z ⋅ E '

E ' = σ z ϵ z

E ' = σ z σ z E 1 - v - 2 v 2 1 - v

E ' = E 1 - v - 2 v 2 1 - v

E ' = E ⋅ ( 1 - v ) 1 - v - 2 v 2

Agora para determinarmos o fator de aumento basta dividir pelo o que era antes ( E ) , sendo assim:

E ' E = ( 1 - v ) 1 - v - 2 v 2

Agora substituindo o valor referente a v .

E ' E = ( 1 - 0,3 ) 1 - 0,3 - 2 ⋅ 0,3 2

E ' E = 1,346

Resposta

E ' E = 1,346

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