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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Resistência dos materiais - 7ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 7º - Capítulo 10.Problemas - Ex. 59

O vaso de pressão cilíndrico de parede fina com raio interno r e espessura t é submetido a uma pressão interna p . Se as constantes do material forem E e v , determine as deformações nas direções circunferencial e longitudinal. Com esses resultados, calcule o aumento no diâmetro e no comprimento de um vaso de pressão de aço cheio de ar e sob pressão manométrica de 15   M P a . O vaso tem 3   m de comprimento, raio interno de 0,5   m e espessura da parede de 10   m m . E a ç o = 200   G P a , v a ç o = 0,3 .

Passo 1

Olá pessoal! Tudo bem?

Esse é um problema que pede que determinemos as deformações nas direções circunferencial e longitudinal do vaso de pressão cilíndrico de parede fina e depois calcular o aumento no diâmetro e no comprimento dele quando cheio de ar e sob pressão manométrica de 15   M P a . Nos fornece como dados:

p = 15 ⋅ 10 6   P a

L = 3   m

r = 0,5   m

t = 0,01   m

E a ç o = 200   G P a

v a ç o = 0,3

Para vasos de pressão, calculamos a tensão circunferêncial fazendo:

σ 1 = p r t

E a tensão longitudinal:

σ 2 = p r 2 t

A tensão σ 3 sera nula, porque só temos essas duas tensão anteriores agindo em um elemento na parede do vaso.

σ 3 = 0

Tendo isso em vista, para encontrar as deformações basta substituir nas equações 10.18 :

ϵ c i r c = 1 E σ 1 - v σ 2 + σ 3

ϵ l o n g = 1 E σ 2 - v σ 1 + σ 3

Percebe que multiplicamos o coeficiente de Poisson pelas tensões que não estão na direção da deformação. Elas agem mesmo não estando na direção das deformações por causa do efeito de Poisson.

Aí através dessas equações, vamos achar expressões para a variação de comprimento e diâmetro desse tubo. Bora lá!

Passo 2

Substituindo as expressões das tensões na equação, temos:

Deformação circunferencial:

ϵ c i r c = 1 E σ 1 - v σ 2 + σ 3

Como

σ 1 = p r t

σ 2 = p r 2 t

Temos

ϵ c i r c = 1 E p r t - v p r 2 t

ϵ c i r c = p r 2 t E 2 - v

Substituindo nossos dados:

ϵ c i r c = 15 ⋅ 10 6 ⋅ 0,5 2 ⋅ 0,01 ⋅ 200 ⋅ 10 9 2 - 0,3 = 3,1875 × 10 - 3

Para deformação longitudinal:

ϵ l o n g = 1 E σ 2 - v σ 1 + σ 3

ϵ l o n g = 1 E p r 2 t - v p r t

ϵ l o n g = p r 2 t E 1 - 2 v

Substituindo nossos dados:

ϵ l o n g = 15 ⋅ 10 6 ⋅ 0,5 2 ⋅ 0,01 ⋅ 200 ⋅ 10 9 1 - 2 ⋅ 0,3 = 7,5 × 10 - 4

Passo 3

O próximo passo é calcular o aumento no diâmetro e no comprimento do vaso de pressão sob as condições informadas no problema.

A deformação circunferencial vai tender a esticar o comprimento da seção transversal do tubo. Lembrando que a deformação pode ser calculada por

ϵ = c o m p r i m e n t o   i n i c i a l - c o m p r i m e n t o   f i n a l c o m p r i m e n t o   i n i c i a l → ϵ c i r c = d f - d i d i → ϵ c i r c = Δ d d

Portanto, podemos calcular o aumento do diâmetro fazendo:

Δ d = ϵ ⋅ d

Substituindo nossos dados:

Δ d = p r 2 t E 2 - v ⋅ d

Δ d = 15 ⋅ 10 6 ⋅ 0,5 2 ⋅ 0,01 ⋅ 200 ⋅ 10 9 2 - 0,3 ⋅ 1

Δ d = 0,0031875   m

Δ d = 3,1875   m m

Passo 4

Vamos usar o mesmo principio aqui para a deformação longitudinal. Ela dada por

ϵ l o n g = L f - L i L i

ϵ l o n g = Δ L L

Isolamos então Δ L para encontrar o aumento no comprimento:

Δ L = ϵ l o n g ⋅ L

Substituindo:

Δ L = p r 2 t E 1 - 2 v ⋅ L

Δ L = 15 ⋅ 10 6 ⋅ 0,5 2 ⋅ 0,01 ⋅ 200 ⋅ 10 9 1 - 2 ⋅ 0,3 ⋅ 3

Δ L = 0,00225   m

Δ L = 2,25   m m

Resposta

ϵ c i r c = p r 2 t E 2 - v = 3 , 1875 × 10 - 3

ϵ l o n g = p r 2 t E 1 - 2 v = 7,5 × 10 - 4

Δ d = 3,1875   m m

Δ L = 2,25   m m

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