O centro O da roda de 2   k g com raio de giração de 60   m m em relação a O , tem uma velocidade v o = 0,3   m / s para baixo na inclinação de 15° quando uma força P = 10   N é aplicada ao cabo enrolado em torno do seu eixo central. Se a roda rola sem deslizar, calcule a velocidade v do centro O quando P tiver sido aplicada por cinco segundos.

Passo 1

Sabemos que a relação momento-quantidade de movimento angular é dada por

∑ M g = H ˙ g

Rearranjando, encontramos

∫ 0 t ∑ M g d t = H 2 - - H 1 -

De onde tiramos que

∫ 0 5 ( F × 0,08 - 10 × 0,03 ) d t = 2 0,06 2 × v 0,08 - - 0,3 0,08

Resolvendo a integral e colocando o raio r da roda em evidência, temos

F × 0,08 × 5 - 10 × 0,03 × 5 = 2 0,06 2 0,08 × v + 0,3

0,4 F - 1,5 = 0,09 × v + 0,3             ∴             0,4 F = 0,09 v + 1,527

Mas sabemos também que o somatório de forças externas em x equivale à quantidade de movimento linear em x. Daí

∫ 0 t ∑ F x d t = ∆ G x

De onde tiramos que

∫ 0 5 ∑ 10 - F - 2 9,81 s e n ( 15 ° ) d t = 2 v - ( - 0,3 )

5 × 10 - 5 × F - 5 × 2 9,81 s e n 15 ° = 2 v + 0,3             ∴           - 5 F = 2 v - 24,01

Passo 2

Note que chegamos a um sistema que contém duas equações e duas incógnitas

0,4 F = 0,09 v + 1,527 - 5 F = 2 v - 24,01

Resolvendo o sistema, obtemos

F = 4,172   N

v =   1,575   m / s

Resposta

v =   1,575   m / s

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