Enunciado

Uma força de desaceleração atua sobre uma partícula que inicialmente se desloca com uma velocidade de 100   m / s e fornece uma desaceleração como a registrada pela leitura do osciloscópio mostrado na figura. Determine a velocidade aproximada da partícula em t = 4   s e em t = 8   s .

Passo 1

Vamos lembrar da definição de aceleração:

a t = d v d t

Se a gente reorganizar a equação:

a   d t = d v

E agora integrando:

∫ 0 t a   d t = ∫ v 0 v d v

A integral da esquerda é a área do gráfico entre t = 0 e um instante t qualquer, e a integral da direita pode ser reescrita assim:

∫ 0 t a   d t = v - v 0

Sendo que v 0 = 100   m / s , ou seja:

v = 100 + ∫ 0 t a   d t

Passo 2

Para encontrar a velocidade no instante t = 4 é só substituir na equação:

v = 100 + ∫ 0 4 a   d t

E precisamos estimar a área entre os pontos t = 0 e t = 4 no gráfico.

Entre t = 0 e t = 2 nós podemos dizer que a área é nula, e que entre 2 e 4 o gráfico é aproximadamente uma reta. Usando a fórmula para a área do triângulo:

∫ 0 4 a   d t = 1 2 4 - 2 - 4 g - 0 = - 39,24   m / s

É importante lembra de colocar os valores com sinal negativo! Afinal de contas, o eixo y representa a desaceleração. Substituindo na equação de cima:

v = 100 - 39,24 = 60,76   m / s

Passo 3

Agora fazemos a mesma coisa para o instante t = 8 :

v = 100 + ∫ 0 8 a   d t

Além da área que já calculamos, temos que considerar o trecho retangular entre t = 4 e t = 6 , já que o restante do intervalo tem área nula. Nesse caso:

∫ 0 8 a   d t = ∫ 0 4 a   d t + ∫ 4 8 a   d t = - 39,24 + ∫ 4 8 a   d t

∫ 4 8 a   d t = 6 - 4 - 4 g + 0 = - 78,48   m / s

Ou seja:

v = 100 - 78,48 - 39,24 = - 17,72   m / s

Pronto!

Resposta

A velocidade no instante t = 4   s é próxima de v = 60,8   m / s , e no instante t = 8   s é próxima de v = - 17,72   m / s .

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