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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 19.Problemas - Ex. 78

Um cilindro uniforme de 15 lb pode rolar sem deslizar em uma inclinação e é preso a uma mola AB conforme mostrado. Se o centro do cilindro for movido OA para dentro, descendo a rampa e liberado, determine (a) o período de vibração e (b) a velocidade máxima do centro do cilindro.

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine a) o período de vibração e (b) a velocidade máxima do centro do cilindro.

(a) posição 1

T 1 = 0 V k = 1 2 k δ S T + r θ m 2

Posição 2

T 2 = 1 2 J - θ ˙ m 2 + 1 2 m v → m 2 V 2 = m g h + 1 2 k δ S T 2

Conservação de energia

T 1 + V 1 = T 2 + V 2 : 0 + 1 2 k δ S r + r θ m 2 = 1 2 J - θ ˙ m 2 + 1 2 m v - m 2 + m g h + 1 2 k δ S T 2

k δ S r 2 + 2 k δ S T r θ n i + k r 2 θ m 2 = J → θ ˙ m 2 + m v m 2 + 2 m g h + k δ S T 2 (1)

Passo 2

Quando o disco está em equilíbrio

+ Σ M c = 0 = m g s i n ⁡ β r - k δ S r r

Dessa forma

h = r s i n ⁡ β θ m

Então

m g h - k δ S T F = 0 (2)

Passo 3

Substituindo eq (2) em (1)

k r 2 θ m 2 = J - θ ˙ m 2 + m v → m 2

θ ˙ m = ω n θ a r                       v m = r θ ˙ m = r ω n θ m

k r 2 θ m 2 = J → + m r 2 θ m 2 ω n 2

ω n 2 = k r 2 J - + m r 2 J → = 1 2 m r 2

ω n 2 = k r 2 1 2 m r 2 + m r 2 = 2 3 k m

τ n = 2 π ω n = 2 π 2 ( 4,5 × 12 l b / f t ) 3 15 t b 32.2 f t / s 2 = 0.715 s

Passo 4

(b) máxima velocidade

v m = r θ ˙ m θ ˙ m = θ m ω n

v n = r θ m ω n r θ m = 0.4 12 f t

v m = 0.4 12 f t 2 π 0.715 s = 0.293 f t / s

Resposta

a τ n =   0.715 s

(b) v m =   0.293 f t / s

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