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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 19.Problemas - Ex. 41

Uma haste A13 uniforme de 8 kg é articulada a um suporte fixo em A e é fixada por meio dos pinos B e C a um disco de 12 kg de raio de 400 mm. Uma mola presa em D mantém a haste em repouso na posição mostrada. se o ponto B for movido para baixo 25 mm e liberado, determine (a) o período de vibração, (b) a velocidade máxima do ponto

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine (a) o período de vibração, (b) a velocidade máxima do ponto . Temos entao que determinar o somatorio dos momentos, partiu?

Equação do movimento:

Σ M A = Σ M A e f f :           F S = k 0.6 θ + δ S 1

+ 0.6 m R g - F S + 1.2 m D g = I - R + I - D α + 0.6 m R a t D + 1.2 m D a t B (1)

Em equilíbrio

( θ = 0 ) F S = k δ S T

Σ M A = 0 = 0.6 m R g - k δ S T + 1.2 m ρ g (2)

Substituir Eq (2) em Eq(1)

I - R + I - D α + 0.6 m R a t D + 1.2 m D a t B + ( 0.6 ) 2 k θ = 0

α = θ ¨

a i B = 0.6 θ ¨ a t D = 1.2 θ ¨

I - R = 1 12 m R l 2 - 1 12 ( 8 ) ( 1.2 ) 2 = 0.960 k g ⋅ m

I - D = 1 2 m D R 2 = 1 2 ( 12 ) ( 0.4 ) 2 = 0.960 k g ⋅ m

0.960 + 0.960 + ( 0.6 ) 2 ( 8 ) + ( 1.2 ) 2 ( 12 ) θ ¨ + ( 0.6 ) 2 ( 800 ) θ = 0

θ ¨ + 288 N ⋅ m 22.08 k g ⋅ m 2 θ = 0

Passo 2

(a) frequência natural e período

ω n = 288 22.08 = 3.6116 r a d / s

τ n = 2 π ω n = 2 π 3.6116

τ n = 1.740 s

Passo 3

(b) máxima velocidade em B

v B m a x = ( 1.2 ) θ ˙ max 

θ i n = y B 1.2 θ i n = 0.025 1.2 = 0.02083 r a d

θ = θ m s i n ⁡ ω n t + ϕ θ ˙ = θ m ω n c o s ⁡ ω n t + ϕ

θ ˙ max  = θ m ω n = ( 0.02083 ) ( 3.612 ) = 0.07524 r a d / s

v B m a x = ( 1.2 ) θ ˙ m a x = ( 1.2 m ) ( 0.07524 ) r a d / s v B m a x = 0.09029 m / s

v B m a x = 90.3 m m / s

Resposta

(a)   τ n = 1.740 s

(b)   v B m a x = 90.3 m m / s

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