Expandindo o integrando da Eq. (19.19) da Seção 19.4 em uma série de potências pares de sen φ e integrando, mostre que o período de um pêndulo simples de comprimento l pode ser aproximado pela fórmula

onde θ m é a amplitude das oscilações.

Passo 1

Usando o Teorema Binomial, escrevemos

1 1 - sin 2 θ m 2 sin 2 ϕ = 1 - sin 2 θ m 2 sin ⁡ ϕ - 1 / 2

= 1 + 1 2 sin 2 θ m 2 sin 2 ϕ + ⋯

Passo 2

Negligenciar termos de pedido superiores a 2 e definir sin 2 ϕ = 1 2 1 - cos ⁡ 2 ϕ , temos

τ n = 4 l g ∫ 0 2 π 1 + 1 2 sin 2 θ m 2 1 2 1 - cos ⁡ 2 ϕ d ϕ = 4 l g ∫ 0 2 π 1 + 1 4 sin 2 θ m 2 - 1 4 sin 2 θ m 2 cos ⁡ 2 ϕ d ϕ

= 4 l g ϕ + 1 4 sin 2 θ m 2 ϕ - 1 8 sin 2 θ m 2 sin ⁡ 2 ϕ 0 π / 2

= 4 l g π 2 + 1 4 sin 2 θ m 2 π 2 + 0

Resposta

τ n = 2 π l g 1 + 1 4 sin 2 θ m 2

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