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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinâmica: Mecânica para Engenharia - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 13.Problemas - Ex. 93

Se o coeficiente de atrito estático entre a superfície cônica e o bloco de massa m é μ s = 0,2 , determine a velocidade angular constante máxima θ ˙ sem fazer com que o bloco escorregue para cima.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:

Massa do bloco: m

Coeficiente de atrito estático: μ s = 0,2

r : r = 300   m m = 0,3   m

O enunciado pede para determinarmos a velocidade angular constante máxima θ ˙ m á x para que o bloco não escorregue para cima. Essa condição faz com que a gente tenha uma força de atrito F f na mesma direção, porém com sentido oposto à esse movimento. Sabemos que a fórmula para a força de atrito é dada por

F f = μ s N

O diagrama de corpo livre ilustra essa situação.

Onde W = m g é a força peso, g = 9,81   m / s 2 e N é a força normal exercida pela superfície.

Passo 2

Primeiramente, vamos encontrar as derivadas temporais.

Como o bloco não pode escorregar, os valores de z e de r serão constantes, ou seja, não irão variar no tempo. Logo

r ˙ = d r d t = 0   m / s

r ¨ = d 2 r d t 2 = 0   m / s 2

z ˙ = d z d t = 0   m / s

z ¨ = d 2 z d t 2 = 0   m / s 2

Além disso, também sabemos que θ ˙ é constante, logo

θ ¨ = d θ ˙ d t = 0   r a d / s 2

Passo 3

Sabemos que as componentes da aceleração do bloco nas coordenadas r , θ e z são dadas por

a r = r ¨ - r θ ˙ 2

a θ = r θ ¨ + 2 r ˙ θ ˙

a z = z ¨

Logo,

a r = 0 - r θ ˙ 2 = - 0,3 θ ˙ 2   m / s 2

a θ = r θ ¨ + 2 r ˙ θ ˙ = 0   m / s 2

a z = z ¨ = 0   m / s 2

Passo 4

Agora aplicaremos as Equações do Movimento.

Analisando primeiramente no eixo z , temos

∑ F z = m a z

N cos ⁡ 45 ° - W - F f sen ⁡ 45 ° = m ( 0 )

N cos ⁡ 45 ° - F f sen ⁡ 45 ° = W

Sabemos que F f = μ s N . Substituindo esse valor na equação acima, obtemos

N cos ⁡ 45 ° - μ s N sen ⁡ 45 ° = W

N ( cos ⁡ 45 ° - μ s sen ⁡ 45 ° ) = m g

N = m g cos ⁡ 45 ° - μ s sen ⁡ 45 ° = 17 , 34 m   N

Analisando no eixo r , temos que

∑ F r = m a r

- F f cos ⁡ 45 ° - N sen ⁡ 45 ° = m ( - 0,3 θ ˙ 2 )  

0,3 m θ ˙ 2 = N sen ⁡ 45 ° + μ s N cos ⁡ 45 °

0,3 m θ ˙ 2 = 17,34 m sen ⁡ 45 ° + 0,2 ( 17,34 m ) cos ⁡ 45 °

θ ˙ 2 = 17,34 0,3 sen ⁡ 45 ° + 0,2 cos ⁡ 45 ° = 49,04

Portanto, a velocidade angular constante máxima será

θ ˙ = 7   r a d / s

Resposta

θ ˙ = 7   r a d / s

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