Enunciado

Um colar D de 6   k g tem uma velocidade v 0 = 4,5   m / s , quando ele se com uma pequena placa presa na extremidade A da barra A B , de diâmetro 20   m m . Usando-se E = 200   G P a , determinar:

  1. a carga estática equivalente para a barra;
  2. a máxima tensão na barra;
  3. a máxima deflexão na extremidade A .

Passo 1

Faaala, queridas e queridos! Como anda a vida?

Bora resolver um exercício de carregamento axial produzido por impacto?

Essa questão quer saber três informações diferentes. Primeiro, ela quer que a gente determine a força P m que produziria a mesma tensão e deformação na barra A B que o choque. O enunciado chama essa força P m de carga estática. A carga estática P m axial aplicada em uma barra pode ser calculada reorganizando a equação 10.14 do livro.

U m = P m 2 L 2 A E       ⟹       P m = 2 A E U m L

onde U m é a energia que a barra absorve através do impacto do colar D .

Depois a barra quer que a gente calcule a máxima tensão σ m na barra. Fazemos isso, dividindo P m pela área da seção transversal A da barra.

σ m = P m A

Por fim, o exercício quer que a gente determine a máxima deflexão x m na barra extremidade A da barra.

Esse valor é obtido, se a gente lembrar que a energia U m vale:

U m = 1 2 P m x m       ⟹       x m = 2 U m P m

A figura abaixo mostra os dados que temos para tudo isso.

Agora que entendemos o que precisamos calcular, vamos começar a resolver o exercício no próximo passo.

Passo 2

Vamos começar os cálculos pela carga estática P m . Essa carga estática deve ser calculada a partir da equação 10.14 do livro que depende da energia U m absorvida pela barra e causada por uma força axial P m . No entanto, não sabemos quanto vale U m . Para determinar U m , vamos supor que a barra absorve toda a energia cinética do colar D . Logo, U m vale.

U m = m v 0 2 2       ⟹       U m = 6 × 4,5 2 2       ⟹       U m = 60,75   J

onde m é a massa do colar e v 0 é a velocidade do colar.

Além disso, a equação de P m tem outro termo que ainda não conhecemos. O termo A ! Ele é a área da seção transversal da barra. Como a barra é circular, usamos o diâmetro d para calcular A . Mas cuidado! Temos que nos lembrar de passar o diâmetro de m m para m antes da conta!

A = π d 2 4       ⟹     A = π × 0,02 2 4       ⟹       A = π × 10 - 4

Antes de achar P m , temos que converter E de G P a para P a , multiplicando E por 10 9 .

E = 200   G P a       ⟹       E = 200 × 10 9   P a

Agora podemos calcular P m .

P m = 2 A E U m L       ⟹       P m = 2 × π × 10 - 4 × 200 × 10 9 × 60,75 1,2       ⟹       P m = 79760,4   N

Aeeee! Achamos a resposta da letra (a) da questão!

Passo 3

Substituindo A e P m na equação de σ m , achamos a resposta da letra (b) da questão!

σ m = P m A       ⟹       σ m = 79760,4 π × 10 - 4       ⟹       σ m = 253885238   P a

Dividindo esse valor em P a por 10 6 , achamos σ m em M P a .

σ m = 253885238   P a     ⟹       σ m = 254   M P a

Esse foi fácil, né?

Passo 4

Só falta achar a máxima deflexão x m da barra no ponto A para resolver a letra (c) da questão!

Para isso, substituímos U m e P m na equação de x m !

x m = 2 U m P m       ⟹       x m = 2 × 60,75 79760,4       ⟹       x m = 0,00152   m

Prooonto! Já terminamos a questão! :)

Resposta

a   P m = 79760,4   N

b   σ m = 254   M P a

c   x m = 0,00152   m

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