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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Resistência dos materiais - 7ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 7º - Capítulo 13.Problemas - Ex. 8

8. Uma coluna de aço A - 36 tem comprimento de 5,0   m e está engastada em ambas as extremidades. Se a área da seção transversal tiver as dimensões mostradas na figura, determine a carga crítica.

Passo 1

Bem! Como a coluna está engastada em ambas as extremidades, de cara já tiramos que o seu fator de comprimento efetivo K , é igual a 0,5 .

Agora, vamos tratar de obter o momento de inércia em relação ao eixo x da seção transversal da nossa coluna.

Ao olhar a figura, vemos que o que temos que fazer para encontrar nosso momento de inércia I x , é subtrair o momento de inércia do retângulo 1 do momento de inércia do retângulo 2 :

I x = I 1 - I 2

I x = 1 12 b 1 h 1 3 - 1 12 b 2 h 2 3

Onde:

b 1 = 100   m m

h 1 = 50   m m

b 2 = 100   m m - 20   m m = 80   m m

h 2 = 50   m m - 20   m m = 30   m m

E então, substituindo esses valores na expressão do momento, chega-se à:

I x = 1 12 ( 100   m m ) ( 50   m m ) 3 - 1 12 ( 80   m m ) ( 30   m m ) 3

I x ≅ 861666,667   m m 4 ≅ 8,61666667 ⋅ 10 - 7   m 4

Passo 2

Vamos então, usar a fórmula da carga crítica para a flambagem:

P c r = π 2 E I x ( K L ) 2

E substituindo os valores numéricos pertencentes a cada variável, chegamos até:

P c r = π 2 ( 200 ⋅ 10 9   P a ) ( 8,61666667 ⋅ 10 - 7   m 4 ) ( 0,5 ⋅ 5,0   m ) 2

P c r ≅ 272137,89   N ≅ 272,138   k N

Agora, que já achamos sabemos o valor da carga crítica P c r , apliquemos então a outra velha e conhecida fórmula de tensão, dada pela divisão da força P c r pela área A em que ela atua:

σ c r = P c r A

σ c r = 272137,89   N 100   m m ⋅ 50   m m - ( 80   m m ⋅ 30   m m )

σ c r = 272137,89   N 2600   m m 2

σ c r = 272137,89   N 2,6 ⋅ 10 - 3   m 2

σ c r ≅ 104,67   M P a

Esse valor é menor do que a tensão admissível para o nosso aço A - 36 , que é igual a 250   M P a . Logo, está tudo certo com nosso resultado!

Resposta

P c r ≅ 272137,89   N ≅ 272,138   k N

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18. A coluna de tubo de aço A - 36 de 3,6m m tem diâmetro externo de 75m m e espessura de 6m m . Determine a carga crítica, se considerarmos que suas extremidades estão acopladas por pinos.
19. A coluna de tubo de aço A - 36 de 3,6m m tem diâmetro externo de 75m m e espessura de 6m m . Determine a carga crítica, se a base estiver engastada e o topo preso por pinos.
20. A coluna retangular de madeira de 3 m tem as dimensões mostradas na figura. Determine a carga crítica, se considerarmos que as extremidades estão acopladas por pinos. E m = 12G P a , σ e = 35M P a
21. A coluna de 3,0m tem as dimensões mostradas na figura. Determine a carga crítica, se a base for engastada e o topo estiver preso por pinos. E m = 12G P a , σ e = 35M P a .
23. Resolva o Problema 13.22 no caso de um elemento estrutural A B com raio de 50m m