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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 11.Problemas - Ex. 23

Uma coluna de comprimento efetivo L pode ser confeccionada pregando-se firmemente as pranchas idênticas, tal como mostrado. Para a espessura das pranchas indicadas, determinar a razão entre a carga crítica usando o arranjo a, e a carga crítica usando o arranjo b.

Passo 1

Fala meu povo, bora resolver rapidinho essa aqui?

Bom o enunciado nos pede a razão entre as cargas críticas dos arranjos de forma que eles tenham o mesmo material e mesmo comprimento efetivo. Bora dar uma olhada na fórmula da carga crítica.

P C R = π 2 E I L e

Repare que nessas condições a única coisa que vai ser diferente é o momento de inércia!

Então podemos dizer que:

P C R a P C R b = I a I b

Nossa meta então é calcular os momentos de inércia e resolver essa parada!

Passo 2

O momento de inércia da disposição a é simples, com as pranchas unidas temos uma seção do tipo quadrada maciça.

I a = d 4 12

Para a seção vazada vale a gente analisar melhor:

O fato da seção ser quadrada, dispensa as cotas nas duas direções. Do desenho a gente consegue ver que a aresta externa da seção composta vale:

a e x t = d + d 4 = 5 d 4

E a aresta interna vale:

a i n t = d - d 4 = 3 d 4

E o momento de inércia desse tipo de figura é dado por:

I b = ( a e x t 4 - a i n t 4 ) / 12  

Substituindo a galera, temos:

I b = 5 d 4 4 - 3 d 4 4 12

E elevando os termos dos parênteses temos:

I B = 625 d 4 256 - 81 d 4 256 12 = 17 d 4 96

Por fim voltando a nossa razão:

R = I a I b = d 4 12 17 d 4 96  

Rearrumando isso com nossa bela regra de frações de repetir o primeiro e multiplicar pelo inverso do segundo temos:

R = d 4 12 × 96 17 d 4 = 0,471

Resposta

R = 0,471

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