Enunciado

O compressor mostrado tem uma massa de 250 kg e opera a 2.000 rpm. Nesta condição de operação, vibração indesejável ocorre quando o compressor é acoplado diretamente ao solo. Para reduzir a vibração do piso de concreto que está apoiado em solo argiloso, propõe-se isolar o compressor montando-o sobre um bloco de concreto quadrado separado do restante do piso conforme mostrado. A densidade do concreto é 2.400 kg / m³ e a constante da mola para o solo é 80 × 10 6   N / m .. A geometria do compressor leva à escolha de um bloco de 1,5 m por 1,5 m. Determine a profundidade h que irá reduzir a força transmitida ao solo em 75%

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine a profundidade h que irá reduzir a força transmitida ao solo em 75%

Frequência da força circular correspondente a 200 rpm

ω f = ( 2 π ) ( 2000 ) 60 = 209.44 r a d / s

Frequência natural para compressor anexo ao solo

ω = k m 1 = 80 × 10 6 N / m 250 k g = 565.68 r a d / s

Deixe P ser a força devido ao desbalanceamento do compressor e F1 a força transmitida ao solo

F 1 = k x 1 = k p k 1 - ω f ω n 2 = P 1 - ω f ω n 2

F 1 P = 1 1 - ω f ω i 2 = 1 1 - 209.44 565,68 2 = 1.1595 1

Passo 2

Modifique o sistema tornando a massa muito maior, de modo que a freqüência natural do sistema modificado seja muito menor do que a freqüência de força. Seja ω_2 a nova frequência eircular natural. Para que a força terrestre seja reduzida em 75%

F 2 P = 0.25 F 1 P = ( 0.25 ) ( 1.15951 ) = 0.28988 = 1 ω f ω n 2 - 1

ω f ω 2 2 = 1 + 1 0.28988 = 4.4497 ω f ω 2 = 2.10 9

ω 2 2 = ω f 2 4.4497 = ( 209.44 ) 2 4.4497 = 9.8579 × 10 3 ( r a d / s ) 2 ω 2 2 = k m 2 m 2 = k ω 2 2 = 80 × 10 6 N / m 9.8579 × 10 3 ( r a d / s ) 2 = 8115 k g

Propriedades requeridas em anexo com bloco concreto

mass a   = m 2 - m 1 = 8115 - 250 = 7865 k g

volume  =  mass a    densidade = 7865 k g 2400 k g / m 3 = 3.277 m 3

area   = 1.5 m × 1.5 m = 2.25 m 2

profundidade =  volume   area  = 3.277 m 3 2.25 m 2 = 1.456 m

h = 1.456 m

Resposta

h = 1.456 m

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