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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 19.Problemas de Revisão - Ex. 163

Um bloco B de 1,5 kg é conectado por um cabo a um bloco A de 2 kg, que está suspenso por uma mola de 3 kN / m constantes. Sabendo que o sistema está em repouso quando a corda é cortada, determine (a) a frequência, a amplitude e a velocidade máxima do movimento resultante, (b) a tensão mínima que ocorrerá na mola durante o movimento, (c ) a velocidade do bloco A 0.3 s após o cordão ser cortado.

Passo 1

Antes da corda ser cortada, a tensão da mola é

T 0 = m A + m B g = ( 2 + 1.5 ) ( 9.81 ) = 34.335 N

A elongação da mola é

e = T 0 ' k = 34.335 3 × 10 3 = 11.445 × 10 - 3 m

Depois da corda ser cortada, a tensão na posição de equilíbrio

T 0 ' = m A g = ( 2.0 ) ( 9.81 ) = 19.62 N

Passo 2

A elongação correspondente

e 0 ' = T 0 ' k = 19.62 3 × 10 3 é = 6.54 × 10 - 3 m

Deixe x ser mensurado abaixo da posição do equilíbrio

T = T 0 ' + k x

Passo 3

(a) segunda lei de newton depois da corda ser cortada

m x ¨ = m A g - T

m A x ¨ + m A g - k x - T 0 = - k x

m A x ¨ + k x = 0

ω n = k m A = 3 × 10 3 2 = 38.7298 r a d / s

f n = ω n 2 π = 38.7298 2 π

f n = 6.16 H z

O movimento resultante

x = x m s i n ⁡ ω n t + φ x ˙ = ω n x m c o s ⁡ ω i + φ

Condição inicial

x 0 = e 0 - e 0 ' = 4.905 × 10 - 3 m

x ˙ 0 = 0

0.75375 × 10 - 3 = x m s i n ⁡ φ

0 = ω n x m c o s ⁡ φ

φ = π 2

x m = 4.905 m

x m = 4.91 m m

x = 4.905 × 10 - 3 s i n ⁡ ω n t + π 2 ( m ) x ˙ = 0.18997 c o s ⁡ ω n t + π 2 ( m / s )

x ˙ m = 0.1900 m / s

Passo 4

(b) tensão mínima ocorre quando x é mínimo

T min  = T 0 ' - k x m = 19.62 - 3 × 10 3 4.905 × 10 - 3

T trin  = 4.91 N

Passo 5

(c) Velocidade quando t = 0.3s

ω n t - φ = ( 38.7298 ) ( 0.3 ) + π 2 = 13.1897  radian o s

x ˙ = ( 0.18997 ) c o s ⁡ ( 13.1897 ) = ( 0.18997 ) ( 0.8119 )

x ˙ = 0.1542 m / s ↓

Resposta

a   f n = 6.16 H z

x m = 4.91 m m

x ˙ m = 0.1900 m / s

(b) T m i n = 4.91 N

(c)   x ˙ = 0.1542 m / s ↓

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