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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 19.Problemas de Revisão - Ex. 159

Uma placa quadrada fina do lado a pode oscilar em torno de um eixo AB localizado a uma distância b de seu centro de massa G. (a) Determine o período de pequenas oscilações se if b = 1 2 a ⋅ ( b ) Determine um segundo valor de b para o qual o período de pequenas oscilações é o mesmo que aquele encontrado na Parte a.

Passo 1

O enunciado pede que a gente. (a) Determine o período de pequenas oscilações se if b = 1 2 a ⋅ ( b ) Determine um segundo valor de b para o qual o período de pequenas oscilações é o mesmo que aquele encontrado na Parte a.

Deixe o quadro rodas através do ângulo   θ sobre eixo como mostrado

+ ) Σ M A B = Σ M A B e f f : m g b s i n ⁡ θ = - I - α - m a - l ( b )

Cinemática

α = θ ¨ a t = b α = b θ ¨

s i n ⁡ θ ≈ 0

Passo 2

Momento de inércia

I - = 1 12 m a 2

Então

f - + m b 2 θ ¨ + m g b θ = 0

1 12 a 2 + b 2 θ ¨ + g b θ = 0

θ ¨ + 12 g b a 2 + 12 b 2 θ = 0

Frequência natural circular

ω n = 12 g b a 2 + 12 b 2

Passo 3

(a) b = 1 2 a

ω n = 16 g a a 2 + 3 a 2 = 3 g 2 a

Período de vibração τ n = 2 π ω l

τ n = 2 π 2 a 3 g

Passo 4

(b) outro valor de b dando o mesmo período

ω n = 12 g b a 2 + 12 b 2 = 3 g 2 a

12 b a 2 + 12 b 2 = 3 2 a

24 a b = 3 a 2 + 36 b 2

36 b 2 - 24 a b + 3 a 2 = 0

b = 0.5 a  and  b = 0.16667 a

b = 0.1667 a

Resposta

a   τ n = 2 π 2 a 3 g

(b) b = 0.1667 a

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