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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Estatica das Estruturas por Humberto Lima Soriano- Ed: 3º - Capítulo 1.9 - Ex. 13iv

Com a condição de que as barras da figura abaixo estejam em equilíbrio, determine a intensidade das forças F → i

Passo 1

Temos 5 forças atuando nesse sistema:

F 1 → = F 1   j ^

F 3 → = F 3   j ^

F → 2 =   F 2 c o s 60 °   i ^ + F 2   s e n   60 °   j ^ = 0,5   F 2   i ^ + 0,866   F 2     j ^

F → 20 = -   60   k N c o s 45 °   i ^ - 60 k N     s e n   45 °   j ^ = - 60 k N ⋅ 0,707   i ^ - 60 k N   ⋅ 0,707   j ^

= - 42,4   k N   i ^ - 42,4   k N   j ^

A quinta força está distribuída entre x = 0 e x = 4 m e tem módulo máximo 40   k N / m , ou seja,

p = p 0 x b = 40   k N / m     x 4 ≈ 10   k N / m   x  

Então, vamos reduzir essa força:

R = ∫ 0 4 m p   d x = 10   k N / m ∫ 0 4   m x   d x = 10   k N / m ⋅ x 2 2 | 0 4 m = 10   k N / m ( 4 m ) 2 2 = 80   k N m

∫ 0 4 m p x   d x = 10   k N / m ∫ 0 4 m x 2   d x = 10   k N / m   x 3 3 | 0 4 m   = 10   k N / m   ( 4 m ) 3 3 ≈ 213,3   k N m

x = ∫ 0 4 m p x   d x ∫ 0 4 m p   d x = 213,3   k N m 80   k   N ≈ 2,67 m

Ou seja, a força uniformemente distribuída tem efeito equivalente a aplicar uma força de módulo 80   k N m no ponto x = 2,67 m .

Passo 2

Vamos utilizar as equações de equilíbrio para as forças:

∑ F X = 0,5   F 2 - 42,4   k N = 0   ⇒ 0,5   F 2 = 4 2,4     k N ⇒   F 2 = 42,4     k N 0,5 = 84,8   k N

Aplicando F 2 = 28,2   k N diretamente na equação de equilíbrio para y , nós obtemos

∑ F Y = F 1 + F 3 + 0,866   F 2 - 42,4   k N - 80   k N   m = F 1 + F 3 + 0,866   ⋅ 84,8   k N - 122,4   k N

F 1 + F 3 + 73,4   k N - 122,4   k N = F 1 + F 3 - 49   k N = 0   ⇒ F 1 + F 3 = 49   k N

Passo 3

Agora, vamos utilizar a equação de equilíbrio dos momentos das forças ∑ M → = 0 . Temos, em relação à origem

  • O momento da força F 1 → é nulo: M → 1 = 0
  • O momento da força F 3 → é M → 3 = 10 m   F 3   k ^
  • O momento da força F → 80 é M → 40 = - 80 k N   ⋅ 2,67 m   k ^ = - 213,6   k N m   k ^

Como r → 2 = 4 m   i ^ , então

M 2 X = Y 2   F 2 Z - Z 2   F 2 Y = 0 - 0 ⋅ 0,866   F 2 = 0

M 2 Y = Z 2   F 2 X - X 2   F 2 Z = - 4 m ⋅ 0 = 0

M 2 Z = X 2 F 2 Y - Y 2   F 2 X = 4 m   ⋅ 0,866   F 2 - 0   ⋅ 0,5   F 2 = 3,64 m   F 2

Além disso, como r → 20 = 7 m   i ^ , então

M 20 X = Y 20   F 20 Z - Z 20   F 20 Y = 0

M 20 Y = Z 20   F 20 X - X 20   F 20 Z = 0

M 20 Z = X 20   F 20 Y - Y 20   F 20 X = 7 m ⋅ ( - 42,4   k N ) - 0 ⋅ ( - 42,4   k N ) = - 296,8   k N m

Passo 4

Com todos os momentos das forças identificados, a equação de equilíbrio para os momentos nos dá:

∑ M Z = 10 m   F 3 - 213,6   k N   m + 3,64 m   F 2 - 2 96,8   k N m

10 m   F 3 + 3,64 m   ⋅ 84,8   k N - 510,4   k N m = 0

⇒ 10 m   F 3 + 3,64 m   F 2 = 510,4   k N m

⇒   F 3 = - 0 , 364   F 2 + 51,04   k N = - 0 , 364   ⋅ 84,8   k N + 51,04   k N

  F 3 = - 30,87   k N + 51,04   k N ≈ 20,2   k N

Agora, podemos substituir F 3 na equação obtida no Passo 2:

F 1 = 49   k N - F 3 = 49   k N - 20,2   k N ≈ 28,8   k N

Resposta

F 1 = 28,8   k N

F 2 = 84,8   k N

F 3 = 20,2   k N

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