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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Dinâmica Volume 2 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 2.2 - Ex. 40

O cone caindo com uma velocidade v 0 atinge e penetra o bloco de material de embalagem . A aceleração do cone após o impacto é a = g - c y ² , onde c é uma constante positiva e y é a distância de penetração. Se a profundidade de penetração máxima observada é de y m , determine a constante c .

Passo 1

Depois que o cone cai sobre o bloco, ele sofre uma aceleração a no sentido contrário ao seu movimento até parar. O ponto onde ele para ( v = 0 ) é y = y m , ou seja:

y = y m         ⇒         v = 0

Para poder tirar proveito disso precisamos de uma relação entre a velocidade e a posição y . Vamos usar a definição de aceleração:

a = d v d t = d v d y d y d t = v d v d y

a   d y = v   d v

Passo 2

Substituindo com a fórmula para a nessa equação diferencial:

g - c y 2 d y = v   d v

E integrando dos dois lados:

∫ 0 y m á x g - c y 2 d y =   ∫ v 0 0 v   d v

Perceba que a velocidade vai do valor inicial v 0 até zero enquando a posição vai de zero até y = y m á x .

Resolvendo essas integrais encontramos o seguinte:

g y m á x - c 3 y m á x 3 = - 1 2 v 0 2

E agora é só isolar a constante c :

6 g y m á x - 2 c y m á x 3 = - 3 v 0 2

c = 3 v 0 2 + 6 g y m á x 2 y m á x 3

Resolvido!

Resposta

A constante c vale 3 v 0 2 + 6 g y m á x 2 y m á x 3 .

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