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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinâmica: Mecânica para Engenharia - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 12.Problemas - Ex. 28

28. Se os efeitos da resistência atmosférica são levados em consideração, um corpo caindo tem uma aceleração definida pela equação a = 9,81 1 - v 2 10 - 4 m s 2 , onde v é dado em m/s e a direção positiva é para baixo. Se o corpo é solto a partir do repouso a uma altidude muito elevada, determine (a) a velocidade quando t = 5s, e (b) a velocidade máxima possível ou final do corpo ( quando t → ∞ ) .

Passo 1

Sabemos a partir da cinemática, que:

a = d v d t

d t = d v a

d t = d v 9,81 1 - v 2 10 - 2 2

d t = 1 9,81 . d v 1 + 0,01 v . 1 - 0,01 v

∫ 0 t d t = 1 9,81 ∫ 0 v d v 2 1 + 0,01 v + ∫ 0 v d v 2 1 - 0,02 v

9,81 t = 50 ln ⁡ 1 + 0,01 v 1 - 0,01 v

v = 100 e 0,1962 t - 1 e 0,1962 t + 1

Passo 2

Letra (a)

Quando t = 5 s , podemos substituir na expressão de v:

v 5 = 100 e 0,1962 5 - 1 e 0,1962 5 + 1 = 45,5   m / s

Passo 3

Letra (b)

Para encontrar a velocidade máxima possível, basta fazer o limite da expressão v ( t ) quando t tendo ao infinito. Logo, teremos:

v m á x = lim t → ∞ ⁡ v ( t ) = lim t → ∞ ⁡ 100 e 0,1962 t - 1 e 0,1962 t + 1

Ao olhar o limite acima, percebemos que trata-se de um limite indeterminado como infinito sobre infinito, então podemos aplicar a regra de L´H para resolver o mesmo.

v m á x = lim t → ∞ ⁡ 100 e 0,1962 t - 1 e 0,1962 t + 1 = lim t → ∞ ⁡ 100 e 0,1962 t e 0,1962 t = lim t → ∞ ⁡ 100 = 100   m / s

Resposta

Letra (a)

45,5   m / s

Letra (b)

v m á x = 100   m / s

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