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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 18.Problemas - Ex. 76

O conjunto do Problema 18.68 está inicialmente em repouso ( ω = 0), quando um binário de momento M0 é aplicado ao eixo AB. Sabendo que a aceleração angular resultante do conjunto é α = (150 rad/s2)i, determine (a) o binário M0, (b) as reações dinâmicas em A e B imediatamente após o binário ser aplicado.

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine (a) o binário M0, (b) as reações dinâmicas em A e B imediatamente após o binário ser aplicado.

Massa da folha de metal:

m = 2.7 32.2 = 0.08385   lb ∙ s 2 /ft

Dimensão da chapa metálica:

b = 6   in . = 0.5   ft

Área de chapa metálica:

A = 1 2 b 2 + b 2 + b 2 + 1 2 b 2 = 3 b 2 = 0.75   ft 2

Passo 2

ρ = m A = 0.08385 0.75 = 0.1118   lb ∙ s 2 / ft 3 = massa por unidade de área

Momentos e produtos de inércia:

I massa = ρ I ( área )

plano xy (retângulos)

I x = 1 3 b 4 + 1 3 b 4 = 2 3 b 4

I x = 2 3 ρ b 4 = 2 3 0.1118 0.5 4 = 4.658 × 10 - 3  lb ∙ s 2 /ft

I x y = b 2 3 2 b 1 2 b + b 2 5 2 b - 1 2 b = - 1 2 b 4

I x y = - 1 4 ρ b 4 = - 1 4 0.1118 0.5 4 = - 3.4938 × 10 - 3   lb ∙ s 2 /ft

plano xz (triângulos)

I x = 1 12 b 4 + 1 12 b 4 = 1 6 b 4

I x = 1 6 ρ b 4 = 1 6 0.1118 0.5 4 = 1.1646 × 10 - 3   lb ∙ s 2 /ft

Passo 3

Para cálculo de Ixz, use pares de elementos dA1 e dA2:

d A 2 = d A 1

I x z = ∫ x z 2 d A 1 + ∫ 4 b - x - z 2 d A 2 = - ∫ 2 b - x z d A 1 = - ∫ 0 b 2 b - x z 2 d x

Mas z = x.

Consequentemente,

I x z = - ∫ 0 a 2 b x 2 - x 3 d x = - 2 3 b 4 - 1 4 b 4 = - 5 12 b 4

I x z = - 5 12 ρ b 4 = - 5 12 0.1118 0.5 4 = - 2.9115 × 10 - 3   lb ∙ s 2 /ft

Total para Ix:

I x = 4.658 × 10 - 3 + 1.1646 × 10 - 3 = 5.823 × 10 - 3   kg ∙ m 2

O centro de massa encontra-se no eixo de rotação, portanto, a - = 0

Σ F = A + B = m a - = 0                 A = - B

H A = I x ω i - I x y ω j - I x z ω k                 ω = ω i ,                 α = α i

Passo 4

Deixe o quadro de referência Axyz girar com velocidade angular Ω = ω = ω i .

Σ M A = H ˙ A = H ˙ A A x y z + Ω × H A

M 0 i + 4 b i × B y j + B z k = I x α i - I x y α j - I x z α k + ω i × I x ω i - I x y ω j - I x z ω k

M 0 i - 4 b B z j + 4 b B y k = I x α i - I x y α - I x z ω 2 j - I x z α + I x y ω 2 k

Resolva em componentes e resolva para By e Bz.

i :                 M 0 = I x α

j :                 B z = I x y α - I x z ω 2 4 b

k :                 B y = I x z α + I x y ω 2 4 b

Dados:

α = 150   rad/ s 2 ,                 ω = 0 ,                 b = 0.5   ft

Passo 5

  1. M 0 = 5.823 × 10 - 3 150 = 0.87345   lb ∙ ft

    Passo 6

B z = - 3.4938 × 10 - 3 150 + 0 4 0.5 = - 0.262   lb

B y = - - 2.9115 × 10 - 3 150 + 0 4 0.5 = 0.218   lb

A y = - B y = - 0.9375   N

A z = - B z = 1.125   N

Resposta

a )   M 0 = 0.873   lb ∙ ft i

b )   A = - 0.218   l b j + 0.262   l b k

B = 0.218   l b j - 0.262   l b k

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