A barra esbelta uniforme de massa m e comprimento L , com pequenos roletes nas extremidades, é liberada a partir do repouso na posição mostrada, com o rolete inferior em contato com o plano horizontal. Determine a força normal N sob o rolete inferior e aceleração angular α da barra imediatamente após ser liberada.

Passo 1

Como queremos calcular a aceleração angular, é uma boa ideia usar a seguinte equação:

∑ M X = I - α + ∑ m a - d

Só precisamos escolher algum ponto X que seja conveniente, e para isso vamos precisar de um diagrama.

Em preto, vamos representar as forças que atuam sobre o corpo, assim poderemos escrever o somatório dos momentos ∑ M X .

Em azul vamos representar as forças resultantes agindo no centro de massa, assim poderemos escrever o outro somatório ∑ m a - d .

Passo 2

Se escolhermos o ponto P , vamos eliminar os momentos de duas forças desconhecidas, o que facilitaria bastante nossa conta:

∑ M C = I - α + ∑ m a - d

Então apenas a força peso contribuirá para o termo da esquerda. E o momento de inércia I - pode ser consultado em uma tabela:

m g L 2 sen ⁡ θ = 1 12 m L 2 α + ∑ m a - d

Para o último termo, teremos apenas a contribuição da aceleração tangencial L α 2 , lembre-se de que estamos fazendo o momento dessa força em relação ao ponto C :

∑ m a - d = m L 2 α sen ⁡ θ L 2 sen ⁡ θ = m L 2 α 4 sen 2 ⁡ θ

Então:

m g L 2 sen ⁡ θ = 1 12 m L 2 α + m L 2 α 4 sen 2 ⁡ θ

E com isso já podemos isolar a aceleração angular, que é a única variável desconhecida da equação. Começamos dividindo tudo por m L , e multiplicando por 12 :

6 g sen ⁡ θ = L α + 3 L α sen 2 ⁡ θ

6 g sen ⁡ θ = α L 1 + 3 sen 2 ⁡ θ

α = 6 g sen ⁡ θ L 1 + 3 sen 2 ⁡ θ

Passo 3

E agora, para encontrar a força normal, podemos usar a segunda lei de Newton na direção vertical:

∑ F y = m a - y

As únicas forças que atuam nessa direção são o peso e a normal:

∑ F y = m g - N

E apenas a aceleração tangencial m L 2 α tem uma componente nessa direção:

m a - y = m L 2 α sen ⁡ θ

Então:

m g - N = m L 2 α sen ⁡ θ

Vamos substituir a expressão que encontramos para α :

m g - N = m L 2 6 g sen ⁡ θ L 1 + 3 sen 2 ⁡ θ sen ⁡ θ

N = m g 1 - 3 sen 2 ⁡ θ 1 + 3 sen 2 ⁡ θ

Podemos simplificar um pouco se substituirmos aquele 1 por uma fração:

N = m g 1 + 3 sen 2 ⁡ θ 1 + 3 sen 2 ⁡ θ - 3 sen 2 ⁡ θ 1 + 3 sen 2 ⁡ θ = m g 1 + 3 sen 2 ⁡ θ

Resposta

A força normal é N = m g 1 + 3 sen 2 ⁡ θ e a aceleração angular α = 6 g sen ⁡ θ L 1 + 3 sen 2 ⁡ θ .

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