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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 18.Problemas - Ex. 75

O eixo do Problema 18.67 está inicialmente em repouso ( ω = 0), quando um binário de momento M0 é aplicado a ele. Sabendo que a resultante da aceleração angular é α = (20 rad/s2)i, determine (a) o binário M0, (b) as reações dinâmicas em A e B imediatamente após o binário ser aplicado.

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine (a) o binário M0, (b) as reações dinâmicas em A e B imediatamente após o binário ser aplicado.

Velocidade angular e aceleração angular:

ω ˙ = ω ˙ i = α i

Momento angular sobre o centro de massa G:

H G = I - x ω i - I - x y ω j - I - x z ω k

Deixe o referencial Axyz girar com velocidade angular

Ω = ω i = 0

H ˙ G = H ˙ G A x y z + Ω × H G = I - x α i - I - x y α j - I - x z α k + 0 = I - x α i - I - x y α j - I - x z α k

Passo 2

Uma vez que o eixo está no plano xz, I - x y = 0

Por simetria, o centro de massa encontra-se em linha AB.

m a - = 0

Σ F = Σ F eff :                 A + B = m a - = 0                 A  e  B  formam um casal.

A = - B

M 0 i + b i × B y j + B z k = H ˙ G

M 0 i + b B y k - b B z j = I - x α i - I - x z α k

M 0 = I - x α ,                 B y = - I x z α b ,                 B z = 0

Passo 3

Cálculo de I - x e I z .

Divida o eixo em oito segmentos, cada um com comprimento.

a = 9   in.   = 0.75   ft.

Seja m´ a massa de um segmento.

m ' = 16 8 32.2 = 0.062112   lb ∙ s 2 /ft

Para 1 e 8,

I x = 0

Para 2, 4, 5, e 7,

I x = 1 3 m a 2

Para 3 e 6,

I x = m ' a 2

Para 1, 4, 5 e 8

I x z = 0

I x z = m ' - a - a 2 + m ' - a 2 - a + m ' a 2 a + m ' a a 2 = 2 m ' a 2

Passo 4

  1. M 0 = 10 3 m ' a 2 α = 10 3 0.062112 0.75 2 20

    Passo 5

B y = - 2 m ' a 2 α b = - 2 0.062112 0.75 2 20 4 0.75

Resposta

a )   M 0 = 2.33   lb ∙ ft i

b )   B = - 0.466   lb j

A = 0.466   l b j

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