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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinamica Classica de Particulas e Sistemas - Marion- Ed: 5º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 11

Considere uma partícula de massa m cujo movimento inicia a partir do repouso em um campo gravitacional constante. Se uma força resistiva proporcional ao quadrado da velocidade (isto é, k m v 2 ) for encontrada, mostre que a distância S de queda da partícula na aceleração de v 0 a v 1 é fornecida por:

S v 0 → v 1 = 1 2 k ln ⁡ g - k v 0 2 g - k v 1 2

Passo 1

E aew, galera massa, tudo tranquilidade? Vamos pra mais uma, se liga aí.

Da equação do movimento de Newton:

F = m a → m d 2 x d t 2 = - k m v 2 + m g

Vamos usar a seguinte relação:

d 2 x d t 2 = d v d t = d v d x ⋅ d x d t = d v d x v

d 2 x d t 2 = - k v 2 + g = d v d x v

d x = v d v g - k v 2

x = - 1 2 k ln ⁡ g - k v 2 + C

Passo 2

Inserindo as condições iniciais v = v 0 x 0 = 0

Temos: C = 1 2 k log ⁡ ( k v 0 2 + g )

Assim:

x = 1 2 k ln ⁡ g - k v 0 2 g - k v 2

Daí podemos entender que se a velocidade final é v 1 e a inicial é v 0 teremos então: S = 1 2 k ln ⁡ g - k v 0 2 g - k v 1 2

c.q.d. VAPO

Resposta

Demonstração