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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 19.Problemas - Ex. 43

Uma correia é colocada em torno da borda de um volante de 240 kg e fixada conforme mostrado a duas molas, cada uma com k = 15 k.N / m constante. Se a extremidade C da correia for puxada para baixo 40 mm e solta, o período de vibração do volante é observado como 0,5 s. Sabendo que a tensão inicial na correia é suficiente para evitar o escorregamento, determine (a) a velocidade angular máxima do volante, (b) o raio centroidal de rotação do volante.

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine (a) a velocidade angular máxima do volante, (b) o raio centroidal de rotação do volante.

Denote a tensão inicial por T 0

Equação do movimento

+ ) Σ M 0 = Σ M 0 e f f : - T A r + T B r = I - θ ¨

- T 0 + k r θ r + T 0 - k r θ θ = I → θ ¨

θ ¨ + 2 k r 2 l - θ = 0

ω n 2 = 2 k r 2 I - (1)

Temos os seguintes dados: m = 240 k g                 k = 15 k N / m

τ = 0.5 s                           r = 0.45 m τ ≃ 2 π ω n ;         ω n = 2 π τ = 2 π 0.5 = 4 π r a d / s

Passo 2

(a) Velocidade angular máxima. Se o ponto C é puxado para baixo 40 mm e liberada

θ m = θ m a x = 40 m m 450 m m = 88.89 × 10 - 3 r a d

θ ˙ m = θ m ω n = 88.92 × 10 - 3 r a d ( 4 π r a d / s )

θ ˙ m = 1.117 r a d / s

Passo 3

(b) raio centroidal de giro

ω n 2 = 2 k r 2 I

( 4 π r a d / s ) 2 = 2 ( 15 k N / m ) ( 0.45 m ) 2 I -

l - = 38.47 k g ⋅ m 2

Ou desde

I - = m k - 2

( 240 k g ) k → 2 = 28.47 k g ⋅ m 2

k → = 0.4004 m

k - = 400 m m

Resposta

(a)   θ ˙ m = 1.117 r a d / s

(b)   k - = 400 m m

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