Uma das esculturas expostas em um campus universitário consiste em um cubo oco feito de seis chapas de alumínio de 2 x 2 m cada, soldadas entre si e reforçadas com tirantes internos de massa desprezível. O cubo está montado sobre uma base fixa A e pode girar livremente em torno de sua diagonal vertical AB. Ao passar por essa exposição a caminho de uma aula de mecânica, uma estudante de engenharia segura o canto C do cubo e a empurra durante 1,2 s em direção perpendicular ao plano ABC com uma força média de 60 N. Tendo observado que o cubo leva 5 s para o cubo completar uma volta completa, ela utiliza a sua calculadora e começa a calcular a massa do cubo. Qual é o resultado de seu cálculo? (Dica: a distânciaperpendicular da diagonal que liga dois vértices de um cubo a qualquer um de seus seis outros vértices pode se obtida multiplicando-se o lado do cubo por 2 / 3 .)

Passo 1

E ai gurizada tudo belezinha??? O enunciado pede que a gente determine o resultado de seu cálculo? (Dica: a distânciaperpendicular da diagonal que liga dois vértices de um cubo a qualquer um de seus seis outros vértices pode se obtida multiplicando-se o lado do cubo por 2 / 3

Deixe, m ´ = 1 6   m ser a massa de um lado do cubo. Escolha os eixos x, y e z perpendiculares à face do cubo. Deixe a ser o lado do cubo.

Para um lado perpendicular ao eixo x,

( I x ) 1 = 1 6   m ´ a ²

Passo 2

Para um lado perpendicular ao eixo y ou z ,

( I x ) 2 = 1 12 + 1 4 m ´ a 2 = 1 3   m ´ a ²

Momento total de inércia:

I x = 2 ( I x ) 1 + 4 ( I x ) 2 = 5 18   m a ²

Por simetria, I y = I x   e   I z = I x :

Como todos os três momentos de inércia são iguais, o elipsóide de inércia é uma esfera. Todos os machados centróides são eixos principais.

Momento de inércia sobre os eixos verticais:

I v = 5 18   m   a ²

Passo 3

Deixe b = 2 3   a ser o braço de momento do impluso aplicado ao canto.

Usando o princípio do momento de impulso e tomando momentos em torno do eixo vertical,

b F ∆ t = H v = I v = 5 12   m   a 2 ω

Dada: a = 5   f t ,           b = 2 3   5 = 4.0825   f t

ω = 2   π 5 = 1.25664   r a d / s ,             F = 12.5   l b ,             ∆ t = 1.2   s

Resolvendo equação anterior para m,

m = 18 5 b F ( ∆ t ) a ² ω = 18 5 ( 4.0825 ) ( 12.5 ) ( 1.2 ) ( 5 ) ² ( 1.25664 ) = 7.0173   l b ∙ s ² ∙ f t

W = m g = ( 7.0173 ) ( 32.2 )

Resposta

W = 226   l b

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