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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Resistência dos materiais - 7ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 7º - Capítulo 10.Problemas - Ex. 89

Deduza uma expressão para um torque equivalente T que, se aplicado sozinho a uma barra maciça de seção transversal circular, provocaria a mesma energia de distorção que a aplicação combinada de um momento fletor M e um torque T.

Passo 1

Fala aí pessoal, bora pra mais um problema de resmat.

Primeiramente, vamos determinar a tensão cisalhante atuante devido ao momento torsor:

τ m á x = T c J = 2 T e π c 3

Em seguida, devemos calcular as tensões principais. Sabemos que:

σ 1,2 = σ x + σ y 2 ± σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

Substituindo, ficamos com:

σ 1 = 2 T e π c 3

σ 2 = - 2 T e π c 3

Agora, basta aplicar a fórmula da teoria da distorção máxima para determinarmos a tensão de escoamento:

σ 1 ² - σ 1 σ 2 + σ 2 ² = σ e ²      

Isolando-se a tensão de escoamento, teremos:

σ e = 12 T e π c 3

Passo 2

O próximo passo é calcular as tensões máximas atuantes devido à combinação de momento fletor e um torque. Sabemos que:

σ m á x = M c I = 4 M π c 3

τ m á x = T c J = 2 T π c 3

Em seguida, devemos calcular as tensões principais. Sabemos que:

σ 1,2 = σ x + σ y 2 ± σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

Substituindo, ficamos com:

σ 1 = 2 π c 3 ( M + M 2 + T 2 )

σ 2 = 2 π c 3 ( M - M 2 + T 2 )

Agora, basta aplicar a fórmula da teoria da distorção máxima para determinarmos a tensão de escoamento:

σ 1 ² - σ 1 σ 2 + σ 2 ² = σ e ²      

Isolando-se a tensão de escoamento, teremos:

σ e = 2 π c 3 4 M 3 + 3 T 2

Agora, basta igualar as 2 equações para a tensão de escoamento, e teremos:

T e = 4 M ² 3 + T ²

Resposta

T e = 4 M ² 3 + T ²

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