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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 141a

As deformações abaixo foram determinadas na superfície da base de uma máquina de ferro fundido. Sabendo-se que E = 70 G P a e G = 28 G P a , determinar os planos principais e as tensões principais: (a) pela determinação do correspondente estado plano de tensões. (Usar Eq. (2.36); Eq(2.43); e as duas primeiras equações do Prob. 2.76); e então, usar o círculo de Mohr para tensões; (b) Usando o círculo das deformações principais; e então, determinar as correspondentes tensões.

ε x = - 360 × 10 - 6   m m / m m

ε y = - 200 × 10 - 6   m m / m m

γ x y = + 33 0 × 10 - 6   r a d

Passo 1

Para resolver este problema nós primeiro temos de calcular o coeficiente de Poisson ν pela equação. Depois a gente vai aplicar a equação da tensão normal de modo a desenhar o ciclo de Mohr como pedido.

Por fim iremos fazer o ciclo de mohr para as deformações.

Passo 2

Para achar o coeficiente de Poisson a gente vai utilizar a equação:

G = E 2 ⋅ ( ν + 1 )

Dessa forma:

ν = E 2 G - 1

ν = 70 2 ⋅ 28 - 1

ν = 0,25

Passo 3

Agora vamos aplicar a equação da tensão normal, utilizando as equações apontadas na questão:

σ 1 = E 1 - ν 2 ⋅ ( ε x + ν ⋅ ε y )

σ 1 = 70 × 10 9 1 - 0,25 2 ⋅ ( - 360 × 10 - 6 + 0,25 ⋅ - 200 × 10 - 6 )

σ 1 = 74,67 × 10 9 ⋅ - 410 × 10 - 6

σ 1 = - 30,61   M P a

Fazendo a mesma coisa para σ 2

σ 2 = E 1 - ν 2 ⋅ ( ε y + ν ⋅ ε x )

σ 2 = 70 × 10 9 1 - 0,25 2 ⋅ ( - 200 × 10 - 6 + 0,25 ⋅ - 360 × 10 - 6 )

σ 2 = 74,67 × 10 9 ⋅ × 10 - 6

σ 2 = - 21,65   M P a

Finalmente para a tensão de cisalhamento, que é dada por:

τ = G ⋅ γ

τ = 28 × 10 9 ⋅ 3 3 0 × 10 - 6

τ = 9,24   M P a

Passo 4

Agora vamos fazer o ciclo de Mohr para as tensões. Primeiro a gente tem que calcular a média das tensões normais:

σ m é d i o = σ 1 + σ 2 2

σ m é d i o = - 30,61 - 21,65 2 = - 26,13   M P a

Agora a gente tem que achar o raio do ciclo:

R = σ 1 - σ 2 2 2 + τ 2

R = - 30,61 - ( - 21,65 ) 2 2 + 9,2 4 2

R = 105,45

R = 10,27   M P a

Desenhando o ciclo:

Lembrando que A e B representam as tensões principais.

Passo 5

Dessa forma podemos determinar os planos principais por geometria:

t g 2 θ p = 2 τ σ 1 - σ 2

t g 2 θ p = 2 ⋅ 9,2 4   - 30,61 - ( - 21,65 )

t g 2 θ p = - 2,0625

2 θ p = a r c t g - 2,0625 = 64 °

θ p = 32 °

Esse é um dos planos principais, para achar o outro basta somar 90°.

θ 2 = 122 °

Passo 6

Para achar as tensões principais iremos fazer:

σ a = σ m é d i o + R

σ a = - 26,13   + 10,27 = - 15,86   M P a

σ b = σ m é d i o - R

σ b = - 26,13 - 10,27 = - 36,40   M P a

Além disso é válido apontar que a terceira tensão principal σ c = 0 porque é um estado plano de tensões.

Resposta

a)

θ p = 32 °

θ 2 = 122 °

σ a = - 15,86   M P a

σ b = - 36,40   M P a

σ c = 0

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