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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 133

As deformações específicas normais determinadas com o uso da roseta da figura, colada na superfície de um componente estrutural, são:

ε 1 = - 93,1   μ

ε 2 = - 385   μ

ε 3 = + 210   μ

Determinar: (a) a orientação e a intensidade das deformações específicas nromais, no plano da roseta; (b) a máxima deformação de cisalhamento, no plano.

Passo 1

Esse problema nos fornece as deformações por meio da utilização da roseta, então a gente vai ter que achar as deformações através dos valores dados, primeiro vamos calcular os ângulos da roseta:

θ 1 = - 7 5 °

θ 2 = 0 °

θ 3 = 75 °

A partir daí a gente vai ter que achar as deformações ε x   e   ε y . Vamos fazer isso no segundo passo.

Depois que achamos essas deformações podemos fazer o ciclo de Mohr e a brincadeira já ta no papo, partiu então!

Passo 2

As equações que vamos utilizar são da seguinte forma:

ε θ = ε x ⋅ c o s 2 ( θ ) + ε y ⋅ s e n 2 ( θ ) + γ x y ⋅ sen ⁡ θ ⋅ c o s ⁡ ( θ )

Daí é só substituir:

Para θ 1 = - 75 °

ε - 75 ° = ε x ⋅ c o s 2 ( - 75 ° ) + ε y ⋅ s e n 2 ( - 75 ° ) + γ x y ⋅ sen ⁡ - 75 ° ⋅ c o s ⁡ ( - 75 ° )

- 93,1 = ε x ⋅ 0,067 + ε y ⋅ 0,933 + γ x y ⋅ - 0 , 2 5

Para θ 2 = 0 °

ε 0 ° = ε x ⋅ c o s 2 ( 0 ° ) + ε y ⋅ s e n 2 ( 0 ° ) + γ x y ⋅ sen ⁡ 0 ° ⋅ c o s ⁡ ( 0 ° )

- 385 = ε x

Para θ 3 = 75 °

ε 75 ° = ε x ⋅ c o s 2 ( 75 ° ) + ε y ⋅ s e n 2 ( 75 ° ) + γ x y ⋅ sen ⁡ 75 ° ⋅ c o s ⁡ ( 75 ° )

+ 210 = ε x ⋅ 0,067 + ε y ⋅ 0,933 + γ x y ⋅ 0 , 25

Assim, temos o seguinte sistema:

- 385 = ε x

- 93,1 = ε x ⋅ 0,067 + ε y ⋅ 0,933 + γ x y ⋅ - 0,25

+ 210 = ε x ⋅ 0,067 + ε y ⋅ 0,933 + γ x y ⋅ 0,25

Passo 3

Vamos resolver esse sistema:

Substituindo ε x nas duas últimas equações:

- 93,1 = - 385 ⋅ 0,067 + ε y ⋅ 0,933 + γ x y ⋅ - 0,25

ε y ⋅ 0,933 + γ x y ⋅ - 0,25 = - 67,30

+ 210 = - 385 ⋅ 0,067 + ε y ⋅ 0,933 + γ x y ⋅ 0,25

ε y ⋅ 0,933 + γ x y ⋅ 0,25 = 235,80

Somando as duas equações:

ε y ⋅ 0,933 + γ x y ⋅ - 0,25 = - 67,30

ε y ⋅ 0,933 + γ x y ⋅ 0,25 = 235,80

ε y = 90,3   μ

Subtraindo as mesmas duas equações:

ε y ⋅ 0,933 + γ x y ⋅ - 0,25 = - 67,30

ε y ⋅ 0,933 + γ x y ⋅ 0,25 = 235,80

γ x y = 606,2   μ

Assim temos as nossas deformações:

ε x = - 385   μ

ε y = 90,3   μ

γ x y = 606,2   μ

Passo 4

Vamos fazer então o ciclo de Mohr para deformações. Para isso a gente tem que lembrar como calcula a deformação específica normal média e o raio:

ε m é d = ε x + ε y 2

R = ε x - ε y 2 2 + γ x y 2 2

Perceba que é muito parecido com o ciclo de Mohr com as tensões mas aqui utilizamos:

  • ε que é a deformação específica normal.
  • γ que é a deformação angular.

utilizando os cálculos do passo 1:

ε m é d = ε x + ε y 2

ε m é d = - 385 + 90,3   2 = 147,35   μ

E

R = - 385 - 90,3   2 2 + 606,2 2 2

R = 148347,13

R = 385   μ

Agora podemos desenhar o ciclo de Mohr:

Passo 5

Com o círculo de Mohr a gente vai poder calcular a orientação das deformações específicas normais principais no plano da roseta. Para isso a gente tem que calcular o ângulo 2 θ p do ciclo de Mohr, que é dado, pela geometria do círculo como:

t g 2 θ p = γ x y ε x - ε y

t g 2 θ p = 606,2 - 385 - 90,3 = - 1,2754

2 θ p = a r t g - 1,2754

2 θ p = - 52 °

θ p = - 26 °

Passo 6

Para calcular a intensidade dessas deformações específicas normais principais temos que calcular ε m á x e ε m í n . Como já temos a média o o raio fica fácil:

ε m á x = ε m é d + R

ε m á x = 147,35 + 385 = 532   μ

ε m í n = 147,35 - 385 = - 238   μ

Passo 7

A máxima deformação específica de cisalhamento no plano γ m á x   ( n o   p l a n o ) é obtida, também, pelo ciclo de Mohr e é igual ao raio a duas vezes o raio:

1 2 γ m á x ( n o   p l a n o ) = R

γ m á x ( n o   p l a n o ) = 2 R

γ m á x n o   p l a n o = 2 ⋅ 385 = 770 μ

Resposta

a)

θ p = - 26 °

ε m á x = 532   μ

ε m í n = - 238   μ

b)

γ m á x n o   p l a n o = 770 μ

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