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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 106b

Para uma viga extrudada, com a seção transversal mostrada, determinar:

  1. A distribuição de tensões de cisalhamento, causando pela força cortante vertical V, aplicada em O.

Passo 1

O nosso objetivo aqui é determinar as tensões que agem na nossa seção em 3 pontos importantes:

  • Ponto A – final da parte horizontal
  • Ponto D – final da parte horizontal
  • Ponto de simetria – ponto com a máxima tensão cisalhante

Sabemos que a tensão na nossa peça é dada por:

τ = V Q I b

Precisamos determinar o momento de inércia total da nossa seção, vamos seguir o seguinte passo a passo.

Passo 2

O momento de inércia da nossa seção já foi dado no enunciado, e com isso temos que:

I z = 0,933 × 10 6   m m 4

A espessura de cisalhamento vai depender do local que estamos calculando a tensão, sendo assim teremos que:

  • Força F

    • b = 4 m m

  • Força Q

    • b = 6 m m

  • Força R

b = 6 m m

Vamos agora para a definição do momento estático.

Passo 3

Para o momento estático, precisamos escrever a nossa equação em função disso, porque sabemos que a nossa força está em função da tensão, sendo assim podemos fazer o seguinte:

  • Tensão em A
  • Área da região acima do ponto que se quer saber o cisalhamento

    • Vamos ter que fazer esse momento estático em dois grupos, vamos primeiro fazer a parte horizontal.

    A = 4 x

    Lembrando que x é a variação do comprimento da área analisada.

  • Distância do centroide da área até a LN

    • y 1 = 30 + 15 = 45 m m

    agora para determinar o momento estático precisamos fazer a seguinte conta:

    Q = A 1 y 1 = 4 x 45 = 180 x

    E sabemos que a espessura de cisalhamento é dado por “ t = b = 4 m m ” , sabemos também que V = 35   k N . substituindo isso na nossa equação teremos que:

  • Tensão

    • τ A = V Q I b = 35   .     180   .   30     0,933   . 10 6     .     4 = 0,05064 k N m m 2 = 50,6   M P a

    • Tensão em D

  • Área da região acima do ponto que se quer saber o cisalhamento

    • A = 6 x

    Lembrando que x é a variação do comprimento da área analisada.

  • Distância do centroide da área até a LN

    • y 1 = 15 = 15 m m

    agora para determinar o momento estático precisamos fazer a seguinte conta:

    Q = A 1 y 1 = 6 x 15 = 90 x

    E sabemos que a espessura de cisalhamento é dado por “ t = b = 6 m m ” . substituindo isso na nossa equação teremos que:

  • Tensão

    • τ D = V Q I b = 35   .     90   .   30     0,933   . 10 6     .     6 = 0,01688 k N m 2 = 16,9   M P a

    Passo 4

    Vamos calcular agora a tensão máxima, e para isso precisamos do momento estático.

  • Área da região acima do ponto que se quer saber o cisalhamento

    • A 1 = 4 × 30 = 120   m m 2

    A 2 = 6 × 30 = 180   m m 2

    A 3 = 6 × 45 = 270   m m 2

  • Distância do centroide da área até a LN

    • agora para determinar o momento estático precisamos fazer a seguinte conta:

    Q = A 1 y 1 + A 2 y 2 + A 3 y 3 = 120   .     4 5 + 180   .     15 + 270   .     22,5 = 14175   m m 3

    E sabemos que a espessura de cisalhamento é dado por 6. substituindo isso na nossa equação teremos que:

  • Tensão

τ m a x = V Q I b = 35     .     14175     0,933   . 10 6     .     6 = 0,0886   G P a = 88,6   M P a

Resposta

τ A = 50,6   M P a

τ D = 16,9   M P a

τ m a x = 88,6   M P a

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