Demonstre que o produto escalar triplo A × B ∙ C pode ser escrito como A × B ∙ C = A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3 C 1 C 2 C 3 Demonstre também que o produto não é afetado por uma troca das operações de produto escalar e vetorial ou por uma mudança na ordem de A, B, C, desde que eles se encontrem em ordem cíclica, ou seja A × B ∙ C = A ∙ B × C = B ∙ C × A = C × A ∙ B Podemos, portanto, utilizar a notação ABC para indicar o produto escalar triplo. Finalmente, forneça uma interpretação geométrica de ABC por meio do cálculo do volume do paralelepípedo definido pelos três vetores A, B, C.

Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinamica Classica de Particulas e Sistemas - Marion- Ed: 5º - Capítulo 1.Problemas - Ex. 11

Demonstre que o produto escalar triplo pode ser escrito como

Demonstre também que o produto não é afetado por uma troca das operações de produto escalar e vetorial ou por uma mudança na ordem de A, B, C, desde que eles se encontrem em ordem cíclica, ou seja

Podemos, portanto, utilizar a notação ABC para indicar o produto escalar triplo. Finalmente, forneça uma interpretação geométrica de ABC por meio do cálculo do volume do paralelepípedo definido pelos três vetores A, B, C.

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de matrizes, vetores e cálculo vetorial.

Item a

Seja:

Temos que:

Também podemos escrever:

Notamos a partir deste resultado que um número par de permutações deixa o determinante inalterado.

Passo 2

Item b

Considere os vetores A e B no plano definido por e1, e2. Como a figura definida por A, B, C é um paralelepípedo, A B = e3 área da base, mas e3 C = altura do paralelepípedo. Então:

Resposta

Ver passo a passo.

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