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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinamica Classica de Particulas e Sistemas - Marion- Ed: 5º - Capítulo 1.Problemas - Ex. 11

Demonstre que o produto escalar triplo A × B ∙ C pode ser escrito como

A × B ∙ C = A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3 C 1 C 2 C 3

Demonstre também que o produto não é afetado por uma troca das operações de produto escalar e vetorial ou por uma mudança na ordem de A, B, C, desde que eles se encontrem em ordem cíclica, ou seja

A × B ∙ C = A ∙ B × C = B ∙ C × A = C × A ∙ B

Podemos, portanto, utilizar a notação ABC para indicar o produto escalar triplo. Finalmente, forneça uma interpretação geométrica de ABC por meio do cálculo do volume do paralelepípedo definido pelos três vetores A, B, C.

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de matrizes, vetores e cálculo vetorial.

Item a

Seja:

A × B i = ∑ j k ε i j k A j B k

Temos que:

A × B ∙ C = ∑ i ∑ j , k ε i j k A j B k C i =

= C 1 A 2 B 3 - A 3 B 2 - C 2 A 1 B 3 - A 3 B 1 + C 3 A 1 B 2 - A 2 B 1 =

= C 1 C 2 C 3 A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3 = - A 1 A 2 A 3 C 1 C 2 C 3 B 1 B 2 B 3 = A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3 C 1 C 2 C 3 = A ∙ B × C

Também podemos escrever:

A × B ∙ C = - C 1 C 2 C 3 B 1 B 2 B 3 A 1 A 2 A 3 = B 1 B 2 B 3 C 1 C 2 C 3 A 1 A 2 A 3 = B ∙ C × A

Notamos a partir deste resultado que um número par de permutações deixa o determinante inalterado.

Passo 2

Item b

Considere os vetores A e B no plano definido por e1, e2. Como a figura definida por A, B, C é um paralelepípedo, A ×   B = e3 × área da base, mas e3 ∙ C = altura do paralelepípedo. Então:

C ∙ A × B = C ∙ e 3 × á r e a   d a   b a s e =

= a l t u r a   d o   p a r a l e l e p í p e d o × á r e a   d a   b a s e = v o l u m e   d o   p a r a l e l e p í p e d o

Resposta

Ver passo a passo.

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